系统稳定性

各类系统稳定性定义

李雅普诺夫意义下的稳定性（内部稳定）

对于 $\forall \epsilon >0$，$\exists$ $\delta$($t_0$, $\epsilon$)$>0$，使得当 $||x(t_0)||<\delta (t_0,\epsilon )$ 时，有 $||x(t,t_0,x_0)||<\epsilon$ 成立，则称系统关于平衡状态 $x=0$ 是李雅普诺夫意义下稳定的。

渐近稳定

如果系统平衡状态 $x_e=0$ 是李雅普诺夫意义下稳定的，且从任意有界领域 $S(\delta )$ 出发的任意状态轨迹，当 $t$ 趋于无穷大时，该状态轨迹都离不开 $S(\delta )$，且收敛到0，则称平衡状态 $x_e=0$ 是渐近稳定的。

指数稳定

如果系统平衡状态 $x_e=0$ 是渐近稳定的，且状态轨迹收敛到平衡点的速度大于等于某个关于 $t$ 的指数函数，则称平衡状态$x_e=0$ 是指数稳定的。

输入-状态稳定（ISS）

存在一个 $\mathcal{K}\mathcal{L}$ 类函数 $\beta$ 和一个$\mathcal{K}$ 类函数 $\alpha$，使对于 $\forall t_0$、$\forall x(t_0)$ 和任意有界输入 $u(t)$，解对于 $\forall t>t_0$ 都存在且满足 $$||x(t)||\le \beta (||x(t_0)||,t-t_0)+\alpha (su{p}_{t_0\le \tau \le t}||u(\tau )||)$$
那么系统是输入-状态稳定的。

有界输入-有界输出稳定（BIBO）

在零初始状态时，对任意有界的输入信号 $r(t)$，$|r(t)|<M_1$，$t\in [0,\infty )$，系统的输出均有界，即存在在常数 $M_2$，$|y(t)|<M_2$，$t\in [0,\infty )$，则系统成为是有界输入有界输出稳定。

不同类型稳定性之间的关联

有界输入有界输出稳定，就是从传递函数中得到的稳定性分析，是一种外部稳定，有界输入可能会导致有界输出，但是此时系统内部不一定是稳定的（即系统本身并不一定稳定）。这是因为系统内部不稳定的子状态可能是不能观测的，不能观测的子状态无法从传递函数上反应出来。在实际情况下，我们往往希望一个系统不仅仅是外部稳定的，最好还是内部稳定的。

但是当系统内部稳定时，此时系统的传递函数的特征方程与系统状态方程的维数一致，系统具有可观测性，则系统一定具有外部稳定性。

系统外部稳定不一定内部稳定，系统内部稳定一定外部稳定，示例如下：

系统外部稳定不一定内部稳定的示例分析

1. 系统的不稳定子状态不能观测，示例如下：
   [ x ˙ 1 x ˙ 2 ] = [ − 1 0 0 1 ] [ x 1 x 2 ] [˙x1˙x2]

   [x˙1x˙2]
   =[−1001]
   [−1001]
   [x1x2]
   [x1x2]
   [x˙1​x˙2​​]=[−10​01​][x1​x2​​]$$y=[10]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$$
   当初始状态为 0，可得
   $$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1-e^{-t}\\ e^t-1\end{array}\right]$$$$y(t)=1-e^{-t}$$当$t\to \infty$ 时，输出 $y(t)$ 有界，系统状态 $\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$中的$x_2$无界，系统内部不稳定。

2. 系统的不稳定子状态轨迹不可知，示例如下：
   [ x ˙ 1 x ˙ 2 ] = [ − 1 0 0 0 ] [ x 1 x 2 ] [˙x1˙x2]

   =[−1000]
   [x1x2]
   [x˙1​x˙2​​]=[−10​00​][x1​x2​​]$$y=[11]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$$
   当初始状态为 0，可得
   $$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1-e^{-t}\\ 0\end{array}\right]$$$$y(t)=1-e^{-t}$$当$t\to \infty$ 时，输出 $y(t)$ 有界，系统状态 $\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$中的$x_2$状态不可知，系统无法达到渐近稳定状态，内部不稳定。

后注知识点

$\mathcal{K}$类函数.
若定义于 $[0,a)\to [0,\infty )$ 上的连续函数 $\alpha$ 严格递增且满足 $\alpha (0)=0$，则称 $\alpha$ 属于 $\mathcal{K}$ 类函数。若 $\alpha =\infty$ 且当 $r\to \infty$ 时有 $\alpha (r)\to \infty$，则称函数 $\alpha$ 属于 ${\mathcal{K}}_{\infty }$ 类函数。

$\mathcal{K}\mathcal{L}$类函数.
若定义于 $[0,a)\times [0,\infty )\to [0,\infty )$ 上的连续函数 $\beta$，对于任意固定的 $s$，映射 $\beta (r,s)$ 都是关于 $r$ 的 $\mathcal{K}$ 类函数，而对于每个固定的 $r$，映射 $\beta (r,s)$ 是关于 $s$ 的递减函数，且当 $s\to \infty$ 时，有$\beta (r,s)\to 0$，则函数 $\beta$ 属于 $\mathcal{K}\mathcal{L}$ 类函数。

系统可控性
如果存在一个不受约束的控制量 $u(t)$，使得系统的初始状态 $x(t_0)$ 在有限时间 $t_0\le t\le T$ 转变到一个我们期望的状态 $x(t)$，则称系统是可控的。

系统可观测性
当且仅当一个系统的初始状态 $x_0$ 在给定控制量 $u(t)$ 的情况下，可以被在有限时间范围内的历史输出量 $y(t)$, $0\le t\le T$ 得到，则称系统是可观测的。

参考文献

[1] K类函数和KL类函数
[2] Hassan K, Khalil. Nonlinear Systems, 3rd edition,144.
[3] 李雅普诺夫稳定（内部稳定）与BIBO稳定（外部稳定）的关系
[4] 控制理论中的几种稳定性介绍
[5] 李雅普诺夫稳定性理论（万字长文，全网最全！）
[6] 如何理解李雅普诺夫稳定性分析(重点文献)
[7] 非线性系统学习笔记(12)-输入-状态稳定性(ISS)
[8] ACnD 3. 可控性与可观测性 (Controllablity and Obeservablity)