AM@闭区间上连续函数的性质定理@一致连续性

abstract

• 闭区间连续函数的三大定理

• 一致连续性

闭区间连续函数的性质👺

• 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续,则

  • $f(x)$在$[a,b]$上有界(有界性定理),且同时有最小值$m$和最大值$M$(最值定理)

  • 若$f(a)f(b)>0$,则至少存在一点$\xi \in (a,b)$,使得$f(\xi )=0$(零点定理)

  • 设$\mu \in [m,M]$,则至少有一点$\xi \in [a,b]$,使得$f(\xi )=\mu$(介值定理)

    • 特别地:$\mu \in (m,M)$,则至少有一点$\xi \in (a,b)$,使得$f(\xi )=\mu$

• 有界性定理,最值定理和零点定理证明从略,仅介绍介值定理的证明

最值定理

• $f(x)$在$[a,b]$上连续,则该区间内必有界,且同时有最小值$m$和最大值$M$(最值定理)

零点定理

• 设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续,且$f(a)f(b)<0$,则开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$使得$f(\xi )=0$
  • $f(a)f(b)>0$表明,$f(a),f(b)\ne 0$,所以这里强调$\xi$在开区间$(a,b)$而不是$[a,b]$
    • 具体可能有$f(a)>0,f(b)<0$,或$f(a)<0,f(b)>0$两种可能

应用

• 可以用来判定函数在某个区间内至少有一个根的问题

• 对于$n$次多项式$f(x)=a{\prod }_{i=1}^n(x-r_i)$,($r_i\in \mathbb{R}$),绘制其在直角坐标系上的图象时有如下特点:

  1. 由零点定理,根$r_i$两侧满足$f(r_i^{-})f(r_i^{+})<0$
  2. 而相邻的两个零点间的函数值同号
  3. 这就是说,这类函数的图象在每个零点的两侧要么从正值变为负值,或者相反,从第一个零点左侧到最后一个零点右侧,函数值正负变换$n+1$次
  4. 如果确定了某个区间内函数值符号,那么其他区间的函数值符号便被确定下来(特点(1));通常只要确定最下的零点左侧的函数符号,后续的区间和自己前一个区间的符号相反即可确定每个零点区间内的函数符号;
  5. 相邻零点区间内有且只有一个极值点

• 可简化类型:若$f(x)$的因式分解中包含符号可确定的因式$d(x)$时,

  • 若$d(x)⩾0$,则这部分因式在$d(x_0)\ne 0$时,就不会影响$f(x_0)$符号的判断,
  • 若$d(x)<0$,则将其变形为$-|d(x)|$就变为上一种情况

• 例如:

  • $f(x)=(x+1)(x-3)$,实零点个数和多项式次数相等

  • 	$(-\infty ,-1)$	$(1,3)$	$(3,+\infty )$
    $f(x)$符号	+	-	+

  • $f(x)=6x(x^2-1{)}^2$,实零点个数(3)少于多项式次数(5)

    • 该式$d(x)=(x^2-1{)}^2⩾0$,$f(x)=6xd(x)$

    • 由零点分析区间:$x_1=-1,x_2=0,x_3=1$,可以划分处4个区间

    • $x\ne 1$时,$d(x)>0$,$f(x)=6xd(x)$符号取决于$x$,此时$f(x)<0$

    • 	$(-\infty ,-1)$	$(-1,0)$	$(0,1)$	$(1,+\infty )$
      $f(x)$符号	-	-	+	+

• 然而一个$n$次多项式不一定有$n$个实根,可能有$m(m<n)$个实根,

  • 实根若是某个零点,则该零点分割的相邻区间内函数符号是相同的
  • 实根(实零点)构成的区间不再满足上面描述的区间内函数值符号规律,
  • 相邻实零点构成的区间的函数单调性情况更加多样(可能出现不只一个极值点的情况)
  • 事实上,每个次数大等于1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解为:一次因式和二次不可约因式的乘积

介值定理

• 从闭区间端点及其函数值的角度描述

• 设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续,且$f(a)=A\ne f(b)=B$,则$\forall C\in (A,B)$,$(a,b)$内至少有一点$\xi$,使得$f(\xi )=C$,$(a<\xi <b)$

• 即开区间$(a,b)$内,$f(x)$可以取开区间$(A,B)$内的任意值

• Note:

  • 由于$C\in (A,B)$,即$C\ne A,B$,且因为$f(a)=A,f(b)=B$,所以$f(a),f(b)\ne C$,即满足$f(\xi )=C$的点$\xi$不可能是区间端点$a,b$,而只可能出现在开区间$(a,b)$内

证明

• 设$\varphi (x)=f(x)-C$,$C\in (A,B)$,因为$f(x)$在$[a,b]$上连续,则$\varphi (x)$在闭区间$[a,b]$上连续,且$-C\in (-B,-A)$,所以$A-C<0$,$B-C>0$即$\varphi (a)=A-C$与$\varphi (b)=B-C$异号

• 由零点定理,开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$,使得$\varphi (\xi )=0,(a<\xi <b)$

• 由$\varphi (\xi )=f(\xi )-C$,$f(\xi )=C,(a<\xi <b)$

• 几何意义:连续曲线弧$y=f(x)$与水平直线$y=C$至少相交于一点

推论@另一种表述

• 从最值的角度描述

• 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续,且$f(x)\in [m,M]$,则$\forall C\in (m,M)$,则$\exists \xi \in (a,b)$使得$f(\xi )=C$成立

• 证明:

  • 设$x_1,x_2\in [a,b]$,且$f(x_1)=m$,$f(x_2)=M$,且$m<M$(这里$x_1,x_2$大小关系可能为$x_1<x_2$或$x_2>x_1$)
  • 在闭区间$[x_1,x_2]$(或$[x_2,x_1]$)上应用介值定理,可知$f(x)$可以取$(f(x_1),f(x_2))$即$(m,M)$内的任意值

推广

• 若$C\in [A,B]$,则$[a,b]$内至少有一点$\xi$,使得$f(\xi )=C$
• 证明:
  • $C\in (A,B)$的情形前面已证明
  • 分别讨论$C=A,B$的情形
    • $C=A$时,显然有$\xi =a$,$f(\xi )=f(a)=A$,
    • $C=B$时,显然有$\xi =b$,$f(\xi )=f(b)=B$
  • 所以命题仍然成立

一致连续性

• 设函数$f(x)$在区间$I$上有定义,若$\forall ϵ>0$,$\exists \delta >0$使得$\forall x_1,x_2\in I$,当$|x_1-x_2|<\delta$时有$|f(x_1)-f(x_2)|<ϵ$则称$f(x)$在区间$I$上一致连续

  • 一致连续性表明,不论在区间$I$的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度,就可以使得对应的函数值达到所指定的接近程度
  • $f(x)$在$I$上连续"$ϵ-\delta$语言"表述:设$f(x)$在$I$上连续,$x_0$是$I$上的任意一点,则 $\forall ϵ>0,\exists \delta >0$,当$|x-x_0|<\delta$时,就有$|f(x)-f(x_0)|<ϵ$
  • 通常$\delta$和$ϵ$有关,还和取定的$x_0$有关(即使$ϵ$不变,$x_0$取$I$上的另一个点,原来求得的$\delta$不一定还适用了)
  • 如果仍然适用,即存在着"只和$ϵ$有关,而对区间$I$上的任意点作为$x_0$都能适用的正数$\delta$",($\forall x_0\in I$,只要$|x-x_0|<\delta$,则$|f(x)-f(x_0)|<ϵ)$),这种函数在$I$上是一致连续的

• 由定义,若$f(x)$在$I$上是一致连续的,则$f(x)$在$I$上也是连续的,反之则不成立

例

• $f(x)=\frac{1}{x}$,$x\in I=(0,1]$定义上是连续的但不是一致连续的
  • 连续性:初等函数显然连续,其某一个部分区间内也连续
  • 假设$f(x)$满足一致连续性,则$\forall ϵ>0$,$\exists \delta >0$使得$\forall x_1,x_2\in I$,当$|x_1-x_2|<\delta$时,$|f(x_1)-f(x_2)|<ϵ$
  • 不妨取$ϵ=\frac{1}{2}$(或者$0<ϵ<1$),$x_1=\frac{1}{n}$,$x_2=\frac{1}{n+1}$,$(n\in {\mathbb{N}}_{+})$,(1)从而$\Delta x=|x_1-x_2|=|\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}|$=$\frac{1}{n(n+1)}$,只要$n$足够到$\Delta x$就足够小$(\Delta x\in (0,\frac{1}{2}])$
  • $\Delta y=|f(x_1)-f(x_2)|=|n-(n+1)|=1>ϵ$
  • 即按照(1)的取法,无论$x_1,x_2$如何接近(但不相等),$|f(x_1)-f(x_2)|$始终等于1而无法任意接近,因此不满足一致连续性定义(找不到满足条件的$\delta$)

一致连续性定理

• 若$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续,则它在该区间上也一致连续
  • 但如果时半开区间上连续,则推不出一致连续