math_函数图像的变换&坐标系平移变换&奇偶函数之间组合与复合后的奇偶性

abstract

• 坐标系@数轴@直角坐标系@空间直角坐标系
• 坐标伸缩变换@图像伸缩变换及应用
• 直角坐标平移公式

坐标系

• 在生产实践中,随着活动范围的扩大和对精度要求的提高,特别是适应描写和掌握运动规律的要求,人们需要比较精确地刻画一个物体的位置
• 刻画一个物体的位置的方法就是选取几个物体作为参考,按照一定的方法来标明这一物体与它们的相互位置关系
• 在有了一定的度量单位后,相互位置关系就可以用数来表示
• 例如,航海的需要而产生的地理坐标(经纬度);为了掌握天体运行的规律或标明天体的位置而产生的天文坐标等,这些都似乎数学上引入各种坐标的实际背景
• 直角坐标系是最自然,最常用的一种坐标系,但不是唯一的一种坐标系,即,它并不是用数来刻画位置的唯一方法,例如极坐标,同构方向角和距离来刻画位置
• 采用哪一种方法需要按具体情况而定

直线上的坐标

• 在直线上取定一点$O$,一个方向,再取定一个长度单位,则对于直线上的任意一点$P$(不同于$O$点),可以按照如下方式标明它的位置
  • 按长度单位两处线段$OP$的长度,$|OP|=x$
  • 按照从$O\to P$的方向与限定的方向相同或相反,分别以正数$+x$或负数$-x$来标明$P$点的位置;这个数就成为$P$点的坐标
  • 反之,给定任意一个实数,直线上有唯一以确定的点以这个数为坐标;于是就给出了直线上的点和全体实数之间的一一对应关系
  • $O$点的坐标为0
• 点$O$,长度单位和选定的方向三者构成了直线上的坐标系,简称为数轴

平面直角坐标系

• 在平面上取两条相互垂直并选定了方向的直线,一条称为$x$轴,另一条称为$y$轴;交点$O$称为原点
• 再取定长度单位,则平面上任一点$M$的位置可以用下面的方法确定
  • 由点$M$像$x,y$轴分别作垂线,点$P,Q$分别是它们的垂足,即$P$为点$M$在$x$轴的投影点,$Q$为$M$在$y$轴的投影点
  • 设$x$分别是$P$在$x$轴上的坐标,$y$为$Q$点在$y$轴上的坐标,则点$M$的位置可以用有序数组$(x,y)$表示
  • 在平面上的任意一点唯一确定一对有序实数,反之任意给定一对有序实数,它也唯一确定平面上的一个点
• 上述方式选定的两条相互垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个平面直角坐标系,记为$xOy$;有序数组$(x,y)$为点$M$的坐标

右手系和左手系

• 平面直角坐标系按$x,y$轴的选取方向可以分为两类:
  • 把$x$轴按逆时针方向绕原点旋转$\frac{\pi }{2}$,而与$y$轴重合时,如果它们的方向一致,则称这样的坐标系为右手系;
  • 否则称为左手系

空间直角坐标系

• 过空间中的一点$O$作三条相互垂直且有相同长度单位的数轴,就构成了空间直角坐标系
• 称$O$为坐标原点,三条数轴分别称为$x$轴,$y$轴,$z$轴
• 取定了空间直角坐标系,就可以建立空间的点与3个有序实数之间的对应关系:
  • 设$M$为空间中的一个点,它在3个坐标轴上的投影点分别为$P,Q,R$;若3个点在数轴上的相应坐标分别为$x,y,z$,则有序数组$(x,y,z)$就称为点$M$的坐标
  • 反之,任意一个有序数组$(x,y,z)$在空埃及你中有一个点以$(x,y,z)$为坐标
  • 因此,空间中的点和有序数组$(x,y,z)$之间构成了一一对应的关系

平面上的伸缩变换

• 讨论直角坐标系上的元素和对象(函数图象)的伸缩变换

  • 伸缩变换,指拉伸和压缩变换
  • 伸缩变换又分为$x$轴伸缩变换和$y$轴伸缩变换

• 函数图象的伸缩变换体现在解析式上的是一个代入"坐标伸缩变换方程"(等式)的结果

• 直角坐标系上的所有对象都是点构成的,因此可以通过研究点的位置(坐标)变换来研究对象的变换

• 一般的,设平面直角坐标系上的图象的方程为$y=f(x)$,图象上的点设为$P(x,y)$,按照一定的变换规则变换后的点记为$Q(X,Y)$

• 对于伸缩变换,可以设为变换规则方程(简称变换方程,其属于线性变换)为:$X=X(x)$,$Y=Y(y)$

• 再分别反解出它们的反函数:$x=X^{-1}(X)$;$y=Y^{-1}(Y)$

• 再代入到原图象方程$y=f(x)$中,得到$Y^{-1}(Y)=f(X^{-1}(X))$,解出$Y=F(X)$,即是变换后的图象的方程

• 上述方法的重点在于:

  • 用点代表正个图象作为研究变换的对象
  • 通过回代原方程来解出新图象的方程

变换的可逆性👺

• $k\ne 0$时,伸缩变换是可逆的
• $k=0$,伸缩因子为$0$的变换是不可逆的
  • 例如横坐标伸缩因子为0时,新图象被压缩成$x=0$上的一部分(可能不是个函数)

伸缩因子

• 图像$C_1:y=f(x)$上的点的某个坐标分量乘以系数$k$来拉伸(收缩)得到新图像$C_1:y_2=g(x)$的过程中用到的$k$称为伸缩因子

拉伸变换和收缩变换的判定

• 设曲线$C_1:y=f(x)$上的所有点横坐标变为原来的$k$,$(k\ne 0)$倍;
  • 当$|k|>1时$表现为拉伸
  • 当$|k|<1$时,表现为压缩
• 纵坐标有相仿的结论

示例函数

• 正弦函数$y=\sin x$的图象为例描述,因为其是一个周期函数,可以便于展示伸缩变换对周期的影响

纵坐标上的伸缩

例

• 设点$P(x,y)$为正弦曲线$y=\sin x$上的任意一点，
  • 如果保持横坐标不变，把纵坐标变为原来的3倍，则点$P(x,y)$变为平面上新的点$Q(X,Y)$,其中坐标间的关系式为$X=x$;$Y=3y$
  • 上述变换称为$Q\to P$的线性变换,为了得到$P\to Q$的(可逆)线性变换,将$x,y$反解出来即可:$x=X$,$y=\frac{1}{3}Y$
  • 该坐标变换公式(关系式)适用于正弦曲线$y=\sin x$上的所有点
    • 将$P\to Q$的线性变换带入到$y=\sin x$得到:$\frac{1}{3}Y=\sin X$
    • 即$Y=3\sin X$.
    • 此曲线把原来正弦曲线的“振幅”增大到它的3倍，即振幅为3.

推广

设点$P(x,y)$为正弦曲线$y=f(x)$上的任意一点:

• 如果保持横坐标不变，把纵坐标变为原来的3倍，则点$P(x,y)$变为平面上新的点$Q(X,Y)$,其中坐标间的关系式为$X=x$;$Y=ky$,$(k\ne 0)$
• 上述变换称为$Q\to P$的线性变换,为了得到$P\to Q$的(可逆)线性变换,将$x,y$反解出来即可:$x=X$,$y=\frac{1}{k}Y$
• 该坐标变换公式(关系式)适用于$y=f(x)$上的所有点,将$P\to Q$的线性变换带入到$y=f(x)$得到:$\frac{1}{k}Y=f(X)$,即$Y=kf(X)$.
• 若$k=0$,则新图形显然是$y=0$

横坐标上的伸缩

例

• 设$P(x,y)$为正弦曲线$C_1:y=\sin x$上的任意一点，如果保持纵坐标不变，把横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$​,$C_1$上的点$P(x,y)$变为平面上新的图象$C_2$上的点$Q(X,Y)$,坐标变换公式为:$X=\frac{1}{2}x$,$Y=y$

  • 反解出$(x,y)=(2X,Y)$,带入到$y=\sin x$

  • 它把原来的正弦曲线变为新的曲线,$Y=\sin 2X$.

对比伸缩前后

• 当$C_1$上的所有点都作相同的坐标变换(横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$),那么可以想象,$C_1$曲线定义在区间$[a,b]$的部分被收缩到区间$[\frac{1}{2}a,\frac{1}{2}b]$
• 将新曲线记为$C_2$,那么$C_2$的图像上的各个"峰"将变得比$C_1$陡峭,现在来看如何由$C_1$得到$C_2$得解析式

推广

设$P(x,y)$是$C_1:y=f(x)$上的任意一点,且$x$轴坐标的伸缩因子为$k$,$(k\ne 0)$,则

• 变换后的点$Q(X,Y)$和$P(x,y)$d的关系:$X=kx$,$Y=y$;

• $P(x,y)=(\frac{1}{k}X,Y)$,满足$y=f(x)$,新曲线$C_2:Y=g(X)=f(\frac{1}{k}X)$

小结

• $y$轴上的伸缩变换比较简单,若需要调整至原来的$k$倍,对原方程$y=f(x)$解析式乘以$k$倍即可:$y=kf(x)$
• $x$轴上的伸缩变换,若需要调整为原来的$k(k\ne 0)$倍,则结果为$y=f(\frac{1}{k}x)$,若$k=0$,则新方程为$y=0$

根据伸缩结果求伸缩因子

• 逆用上述结论,即可根据函数伸缩前后的结果求出所用的可逆伸缩变换的非零伸缩因子
• 若$y_1=f(x)$横坐标按照某个因子$\alpha$伸缩后得到$y_2=f(kx)$,则$\alpha =\frac{1}{k}$
• 若$y_1=f(x)$纵坐标按照某个因子$\alpha$伸缩后得到$y_2=kf(x)$,则$\alpha =k$

平面坐标伸缩变换

• 一般的,$X=ax$,$Y=by$,(其中$a>0,b>0$)是平面上伸缩变换的坐标表达式
• 显然$x=\frac{1}{a}X$,$y=\frac{1}{b}Y$,若原函数为$y=f(x)$,则$\frac{1}{b}y=f(\frac{1}{a}X)$,即$y=bf(\frac{1}{a}x)$
• 例如,函数$y=\sin x$作伸缩变换:$X=\frac{1}{2}x$,$Y=3x$,则新函数为$y=3\sin (2x)$

综合例

例

• 函数$y_1=2x$通过怎样的伸缩变换可以得到函数$y_2=3x$的图象?

  • 横坐标的伸缩变换关系

    • 方法1:

      • 设$P(x,y)$是$y_1$上的点,设$P$的横坐标乘以伸缩因子$k$变换到$y_2$的点$Q=(kx,y)$
      • 即$y=3(kx)$,且$y=2x$,从而$3k=2$,$k=\frac{2}{3}$
      • 由于$|k|=\frac{2}{3}<1$可以判断从$y_1$变为$y_2$发生了横向压缩为原来的$\frac{2}{3}$的变换

    • 方法2:

      • 设函数$y_1$上的点的横坐标乘以$k$倍后,则得到的新曲线(直线)为$g=f(\frac{1}{k}x)$=$2(\frac{1}{k}x)$
      • 令$g=y_2$,即$\frac{2}{k}x=3x$,得$k=\frac{2}{3}$

  • 纵坐标的伸缩变换

    • 函数$y_1$纵坐标按伸缩因子$k$变换结果曲线为$g=k(2x)=2kx$;令$2kx=3x$,则$k=\frac{3}{2}$
    • 即$y_1$上的点,按纵向拉伸为原来的$\frac{3}{2}$得到$y_2$的图像

例

• 设$P(x,y)$是$y=\sin (x)$上的任意一点
  • 按照坐标变换公式$X=\frac{1}{2}x$,$Y=3y$,将$P(x,y)$变为平面上的新的点$Q(X,Y)$
  • 该变换公式把正弦曲线$y=\sin x$变为新的曲线:$\frac{1}{3}Y=\sin 2X$,即:$Y=3\sin 2X$

简谐函数和伸缩变换

• 简谐函数$f(t)=A\sin (\omega t+\varphi )$
  • $f(t)$和$f_0(t)=\sin t$的关系?
  • $f(t)$函数的周期?
• 解
  • 令$h(t)=A\sin (\omega t)$,$g(t)=A\sin (t)$,则$h(t)$=$g(\omega t)$
  • $f(t)$=$A\sin (\omega (t+\frac{\varphi }{\omega }))$和$h(t)$是平移$\frac{\varphi }{\omega }$的关系,它们具有相同的周期
  • 显然,$g(t)$的点横坐标按$\frac{1}{\omega }$的伸缩因子变换得到$h(t)$
  • $g(t)$的周期为$T(g)=2\pi$,所以$h(t)$的周期是$g(t)$周期$2\pi$的$\frac{1}{\omega }$倍,为$T(h)=\frac{2\pi }{\omega }$
  • 所以$f(t)$的周期为$\frac{2\pi }{\omega }$
• 设$g(t)$的图像的所有点的$t$坐标乘以伸缩因子$k$得到$f(t)$图像,表示为$g(k^{-1}t)$=$g(\omega t)$=$f(t)$
  • 由$k^{-1}=\omega$,可得:
    • 伸缩因子$k={\omega }^{-1}$,
    • $f(t)$的周期是$g(t)$的$k={\omega }^{-1}$倍,从而$f(t)$的周期$T(f)=kT(g)=k2\pi =2\pi {\omega }^{-1}$

平面二次曲线上的伸缩变换

• 设$P(x,y)$二次曲线为$C_1:c=f(x,y)$的一个点,其经过伸缩变换$X=ax,Y=by$后得到新曲线$C_2:d=g(X,Y)$上的点$Q(X,Y)$,$P(x,y)=(\frac{X}{a},\frac{Y}{b})$满足$c=f(x,y)$,所以$C_2:c=f(\frac{X}{a},\frac{Y}{b})$

例

• 设圆$O$的方程为$x^2+y^2=a^2$,设物体受均匀的平行于$y$轴的外力$F$的压缩,保持$x$轴上的直径不动
• $P(x,y)$为圆上一点,在压缩后变为点$M(X,Y)$;
• 由于力$F_y$平行于$y$轴,因此$Y=ky(0<k<1)$,而$X=x$,
• 把$x=X$,$y=\frac{Y}{k}$代入圆方程,得$x^2+\frac{Y^2}{k^2}=a^2$;将其变形为:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{Y^2}{(ak{)}^2}=1$,这就是椭圆的形式
• 在此基础上,若在$F_y$外再施加一个平行于$x$轴的力$F_x$,则$X=tx$,$(0<t<1)$,即$x=\frac{X}{t}$,连同$y=\frac{Y}{k}$一同代入$x^2+y^2=a^2$得$\frac{X^2}{(am{)}^2}+\frac{Y^2}{(ak{)}^2}=1$,仍然是椭圆的形式

直角坐标的平移公式👺(直角坐标系平移)

• 设直角坐标系$C_1:xOy$上的点$O^{\prime }(x_0,y_0)$为坐标原点建立新直角坐标系$C_2:x^{\prime }{O}^{\prime }{y}^{\prime }$,$x^{\prime },x$轴的方向一致,$y^{\prime },y$轴的方向一致

• 设点$P$的位置用$C_1$坐标系描述的坐标为$(x,y)$,求$P$在$C_2$坐标系上的相同位置的新坐标$(x^{\prime },y^{\prime })$和$(x,y)$的关系

• 由直角坐标系刻画坐标面内位置的方式可知;确定一个位置在某个数轴上的坐标首先是要确定数轴上的原点位置

• 这里$C_1$的$x$轴和$C_2$的$x^{\prime }$轴上的坐标关系为$x^{\prime }=x-x_0$或作$x=x^{\prime }+x_0$

• 类似的,$C_1$的$y$轴和$C_2$的$y^{\prime }$轴的坐标关系为$y^{\prime }=y-y_0$或作$y=y^{\prime }+y_0$

• 		两条轴中,第一条是$x^{\prime }$轴,第2条是$x$轴
  $x_0-0$=$x-x^{\prime }$	$x_2-x_1=x^{\prime }-x$或$x^{\prime }-x_2$=$x-x_1$
  $x^{\prime }=x-x_0$	$x^{\prime }=x+x_2-x_1$或$x=x^{\prime }+x_1-x_2$

• 例如:$O^{\prime }$的$C_1$坐标为$(x_0,y_0)$,$C_2$坐标为$(0,0)$

• 坐标平移公式(新坐标公式)

  • $x^{\prime }=x-x_0$
  • $y^{\prime }=y-y_0$

推广

• 设坐标系$C_1$的点$A(x_1,y_1)$对应坐标系$C_2$的坐标为$(x_2,y_2)$,求$C_2$的原点$O^{\prime }$在$C_1$的坐标?
  • $C_2$坐标系的原点的位置对应于$C_1$坐标系的坐标为$(x_1-x_2,y_1-y_2)$
  • 若$C_1$上的某点坐标为$P(x,y)$,则$P$在$C_2$上的坐标为$(x-(x_1-x_2),y-(y_1-y_2))$,即$(x+x_2-x_1,y+y_2-y_1)$

例

• 设$x$轴上的$x_1=1$坐标对应于$x^{\prime }$轴上的$x_2=2$坐标,两轴同向,则$x^{\prime }$的原点位置对应于$x$轴的什么坐标?
  • $x(0)=x^{\prime }(0)+x_1-x_2=0+1-2$=$-1$
• 若$x_1=2$,$x_2=1$,则$x(0)=x^{\prime }(0)+x_1-x_2=0+2-1=1$