这里介绍一下分圆多项式的定义以及重要的性质。

首先，我们考虑多项式 $x^n-1$。根据复变函数内容，这个多项式的复因式分解是显然的：$e^{2\pi ik/n}$，$1\le k\le n$。于是就有：
$$x^n-1=\prod _{k=1}^n\left[x-e^{2\pi ik/n}\right].$$

我们看一个简单的性质。在上面的因式分解里，有一项是 $x-1$, 当$n$ 为偶数时还有一项是 $x+1$。其他的因子两两共轭：
$$[x-e^{2\pi ik/n}][x-e^{-2\pi ik/n}]=x^2-2x\cos \frac{2\pi k}{n}+1$$

分圆多项式和这个$e^{2\pi ik/n}$是有很大关系的。

分圆多项式${\Phi }_n$

我们记 $(a,b)$ 是 $a$ 和 $b$ 的最大公因数，于是有
E n = { k : 1 ≤ k ≤ n , ( k , n ) = 1 } . E_{n}=\{k: 1 \leq k \leq n,(k, n)=1\} . En​={k:1≤k≤n,(k,n)=1}.

这个 $E_n$ 就是所有和 $n$ 互素的元素的集合。$E_n$ 的元素个数是欧拉函数$\varphi (n)$（定义如此）。于是可以构建下面所述的${\Phi }_n$：

$${\Phi }_n(x)=\prod _{k\in E_n}\left[x-e^{2\pi ik/n}\right]$$
(注意 ${\Phi }_n$ 和 $\varphi (n)$的差别，哪个是分圆多项式？哪个是欧拉函数？ )

显然 ${\Phi }_n$ 是首一多项式，次数为 $\varphi (n)$。不妨看一些例子：
n = 1 : E 1 = { 1 } , Φ 1 ( x ) = x − 1. n=1: \quad E_{1}=\{1\}, \Phi_{1}(x)=x-1 . n=1:E1​={1},Φ1​(x)=x−1.
n = 2 : E 2 = { 1 } n=2: \quad E_{2}=\{1\} n=2:E2​={1} , ${\Phi }_2(x)=x+1$.
n = 4 : E 4 = { 1 , 3 } n=4: \quad E_{4}=\{1,3\} n=4:E4​={1,3}, ${\Phi }_4(x)=(x-i)(x+i)=x^2+1.$

一些相关的性质

1. 如果$p$是素数，那么
   $${\Phi }_p(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=1+x+\cdots +x^{p-1}.$$
   证明是显然的。因为 E p = { 1 , 2 , . . . , p − 1 } E_p = \{1,2,..., p-1\} Ep​={1,2,...,p−1}，而$e^0=1$。

2. 令 $n=n_{1}d$。那么
   $${\Phi }_d(x)=\prod \left\{[x-e^{2\pi ik/n}]:1\le k\le n,(k,n)=n_1\right\}.$$
   证明。根据定义，${\Phi }_d(x)={\prod }_{r\in E_d}[x-e^{2\pi ir/d}]$。那么现在 $r/d=\left(n_{1}r\right)/n$ 并且 $(r,d)=1$ 当且仅当 $\left(n_{1}r,n\right)=n_1$。 而且 $r\le d$ 当且仅当 $n_{1}r\le n$. 于是只需要把 $k=n_{1}r$代入就可以了。

3. 对于任意的 $n\ge 1$，
   $$x^n-1=\prod _{d\mid n}{\Phi }_d(x).$$
   证明。 对所有满足 $1\le k\le n$ 的$k$，都有 $(k,n)=n_1$，其中 $n_1$ 是某个最大公约数。 于是在 $d$ 取遍 $n$ 的公约数的时候 $n_1=n/d$。所以
   $$\prod _{d\mid n}{\Phi }_d(x)=\prod _{k=1}^n[x-e(k/n)]=x^n-1.$$
   （本质上就相当于从遍历 $d$ 变成遍历 $n_1$ 然后用3的结论）

4. 对于$n\ge 2$,
   ∏ { Φ d ( x ) : d ∣ n , d > 1 } = 1 + x + ⋯ + x n − 1 . \prod\left\{\Phi_{d}(x): d \mid n, d>1\right\}=1+x+\cdots+x^{n-1} . ∏{Φd​(x):d∣n,d>1}=1+x+⋯+xn−1.
   Proof. 相当于除以${\Phi }_1$。
   类似的讨论可以得到：
   ∏ { Φ d ( x ) : d ∣ n , d ∤ m } = x n − 1 x m − 1 . \prod\left\{\Phi_{d}(x): d \mid n, d \nmid m\right\}=\frac{x^{n}-1}{x^{m}-1} . ∏{Φd​(x):d∣n,d∤m}=xm−1xn−1​.
   （刨掉$d\mid m$的相关内容）

5. 推论：
   如果$p$是素数，那么
   $${\Phi }_{p^k}(x)=\frac{y^p-1}{y-1}=1+y+\cdots +y^{p-1},$$
   其中 $y=x^{p^{k-1}}$。特殊地，${\Phi }_{2^k}(x)=x^{2^{k-1}}+1$.
   在4里边取 $m=p^{k-1}$ 和 $n=p^k$。因为是素数的幂，所以同时满足 $d\mid n$ 和 $d\nmid m$ 的只有$n=p^k$。