Codeforces Round #812 (Div. 2)

E. Cross Swapping （扩展域并查集解决2-SAT）

引用一段关于扩展域并查集的总结：

并查集分两种：带边权和扩展域

​ 带边权：带边权的并查集维护的是相对关系，也就是相对于根的关系， 能用并查集来做个核心思想有两点，第一点就是关系具有传递性， 也就是说，如果已知 $x,y$ 的关系也知道 $y,z$ 的关系，那么必然知道 $x,z$ 的关系第二点是要必须具有对称性，无向边 $a$ 能到 $b$ 同时 $b$ 也能到 $a$

​ 扩展域：维护的是多组关系。怎么理解呢？这里有一种理解的方式就是：假如存在 $x$ 种性质，一共有 $n$ 个节点，那么对于每个物品 $y$ 来说 $f[y]$ 代表 $y$ 是第一种性质， $f[y+n]$代表 $y$ 是第二种性质 … $f[y+(x-1)n]$ 代表 $y$ 是第 $x$ 种性质。这不就是SAT吗

​ 如果处理关系和矛盾？以关押罪犯这道题为例，首先定义 $f[x]$ 是犯人 $x$ 所在的监狱， $f[x+n]$ 是另一座监狱，如果这个时候我们要维护 $a,b$ 不在一个监狱。就先判断如果 $p[f[a]]==p[f[b]]$ 那么就矛盾，否则就把 $p[f[a]]=p[f[n+b]]$, $p[f[b]]=p[f[n+a]]$ 意思就是把a所在的监狱与b不在的监狱合并，同时把 $b$ 所在的监狱与 $a$ 不在的监狱合并。

每个点进行转置只有两个选择，换 or 不换。要求字典序最小，从前往后贪心。

如果一个点一个点考虑就会麻烦，一行一行的考虑。

$i$ 表示换， $i+n$ 表不换。本题需要快读 or scanf

最后找一个起始点，非常巧妙。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define pb push_back 
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define mem(f, x) memset(f,x,sizeof(f)) 
#define fo(i,a,n) for(int i=(a);i<=(n);++i)
#define fo_(i,a,n) for(int i=(a);i<(n);++i)
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
using namespace std;
//#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math,O3")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native")

typedef pair<int,int>PII;
typedef pair<long,long>PLL;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
const int N=2e6+10,M=1e9+7;
ll n,m,_;

int a[1100][1100];
int fa[2200];

int find(int x){
    return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = find(fa[x]);
}

void solve(){

	cin>>n;
    fo(i,1,n*2)fa[i] = i;
    fo(i,1,n)fo(j,1,n)cin>>a[i][j];
    fo(i,1,n){
        fo(j,i+1,n){
            if(a[i][j] > a[j][i]){
                int x = i,y = j;
                int nx = x + n,ny = y + n;
                if(find(nx) == find(ny)){
                    continue;
                }
                fa[find(x)] = find(ny);
                fa[find(nx)] = find(y);
            }
            else if (a[i][j] < a[j][i]){
                int x = i,y = j;
                int nx = x + n,ny = y + n;
                if(find(x) == find(ny)){
                    continue;
                }
                fa[find(x)] = find(y);
                fa[find(nx)] = find(ny);
            }
        }
    }
    set<int>st;
    fo(i,1,n){
        if(fa[i] == i)st.insert(i);
    }
	// i 是换的起始点 , st.size()一定为1
    fo(i,1,n){
        if(st.count(find(i))){ // 注意一定是find(i)
            fo(j,1,n){
                swap(a[i][j],a[j][i]);
            }
        }
    }
    fo(i,1,n){
        fo(j,1,n){
            cout<<a[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cin>>_;
	while(_--){
		solve();
	}
	return 0;
}
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Educational Codeforces Round 83 (Rated for Div. 2) D

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D. Tournament Countdown

需要一些灵感 or 套路的题。

场次要在 $\frac{2}{3}{2}^n$ 。

考虑：一共 $2^n$ 人，需要删掉 $2^n-1$ 人，想到 ？套路 两次可以从4个人中删掉3个人。

$\frac{2(2^n-1)}{3}<\frac{2}{3}{2}^n$ 。

之后就是如何做到两次从4个人里边询问胜者。

非常巧妙，询问 1 3。

如果 1 > 3 , 又因为1和2要竞争1大于3的前提是1>2,所以淘汰了2,3。

如果 1 < 3 , 同上淘汰了 1,4。

如果 1 == 3 ， 淘汰 1,3。

/*
A: 10min
B: 20min
C: 30min
D: 40min
*/ 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define pb push_back 
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define mem(f, x) memset(f,x,sizeof(f)) 
#define fo(i,a,n) for(int i=(a);i<=(n);++i)
#define fo_(i,a,n) for(int i=(a);i<(n);++i)
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
#define endl '\n'
using namespace std;
//#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math,O3")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native")

template<typename T>
ostream& operator<<(ostream& os,const vector<T>&v){for(int i=0,j=0;i<v.size();i++,j++)if(j>=5){j=0;puts("");}else os<<v[i]<<" ";return os;}
template<typename T>
ostream& operator<<(ostream& os,const set<T>&v){for(auto c:v)os<<c<<" ";return os;}
template<typename T1,typename T2>
ostream& operator<<(ostream& os,const map<T1,T2>&v){for(auto c:v)os<<c.first<<" "<<c.second<<endl;return os;}
template<typename T>inline void rd(T &a) {
    char c = getchar(); T x = 0, f = 1; while (!isdigit(c)) {if (c == '-')f = -1; c = getchar();}
    while (isdigit(c)) {x = (x << 1) + (x << 3) + c - '0'; c = getchar();} a = f * x;
}

typedef pair<int,int>PII;
typedef pair<long,long>PLL;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
const int N=2e6+10,M=1e9+7;
ll n,m,_;

int ask(int x,int y){
    cout<<"? "<<x<<" "<<y<<endl;
    int res;cin>>res;
    return res;
}

void solve(){
    cin>>n;
    n = 1<<n;
    vector<int>a;
    fo(i,1,n)a.pb(i);

    // 4个四个询问
    while(a.size()>1){
        vector<int>b;
        if (a.size() == 2) {
            int t = ask(a[0], a[1]);
            if (t == 1)
                b.push_back(a[0]);
            else
                b.push_back(a[1]);
        }
        else{
	        for(int i=0;i<a.size();i+=4){
	            int x = a[i];
	            int y = a[i+2];
//	            debug(x);
//	            debug(y);
	            int res = ask(x,y);
	            if(res == 1){
	                res = ask(x,a[i+3]);
	                if(res == 1){
	                	res = x;
	                }
	                else res = a[i+3];
	            }
	            else if(res == 2){
	                res = ask(a[i+1],y);
	                if(res == 1){
	                	res = a[i+1];
	                }
	                else res = y;
	            }
	            else{
	                res = ask(a[i+1],a[i+3]);
	                if(res == 1){
	                	res = a[i+1];
	                }
	                else res = a[i+3];
	            }
	            b.pb(res);
	        }
	    }
        a = b;
    }
    cout<<"! "<<a[0]<<endl;
}

int main(){
	cin>>_;
	while(_--){
		solve();
	}
	return 0;
}
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