概率论_加法公式(基本+推广)(Addition Rule Of Probability)

abstract

• 概率加法公式(Addition Rule Of Probability)
• 介绍双事件下的加法公式和$n$事件下的加法公式

基本加法公式(双事件)

• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB);(\forall A,B)$

互斥事件的加法公式

• 如果$A_i{A}_j=\varnothing ,$那么$P(A_i\cup A_j)=P(A_i)+P(A_j)$
• 若$A_1,\cdots ,A_n$两两互斥,则$P(A_1\cup \cdots \cup A_n)$=$P(A_1)+\cdots +P(A_n)$

一般双事件加法公式

• 但是如果$A_i{A}_j\ne \varnothing$时,$P(A_i\cup A_j)=?$

• 构造互斥事件

• $由于B-A=B-AB;$

  • $A\cup (B\overline{A})=(A\cup B)(A\cup \overline{A})=A\cup B$

    • $同时,A(B-BA)=A(B-A)=\varnothing (这对于任意A,B都成立)$

    • $因此P(A\cup B)=P(A\cup (B-AB))=P(A)+P(B-AB)=P(A)+(P(B)-P(AB))$

    • $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$

例:独立射击问题

• 类型:[加法公式@条件概率@独立事件]

• 两个射手独立的相同一个目标射击

  • 记A:选手甲击中目标;$B$:乙击中目标

  • 假设$P(A)=0.6,P(B)=0.5$;即$P(\overline{A})=0.4;P(\overline{B})=0.5$

  • 甲乙各射击一次

  • 从实际意义角度容易判断$A,B$是独立事件,并且,能够联想到其他三对独立事件:

    • $A,\overline{B}$
    • $\overline{A},B$
    • $\overline{A},\overline{B}$

  • 即,有:

    • $$\begin{gathered} P(AB)=P(A)P(B) \\ P(A\overline{B})=P(A)P(\overline{B}) \\ P(\overline{A}B)=P(\overline{A})P(B) \\ P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B}) \end{gathered}$$

• 目标被击中的概率可以表示为$P(A\cup B)$

  • $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.5-0.3=0.8$

• 已知目标被击中,目标被甲击中的概率可以表示为:$P(A|A\cup B)$

  • $P(A|A\cup B)=\frac{P(A(A\cup B))}{P(A\cup B)}=\frac{P(A)}{P(A\cup B)}=\frac{0.6}{0.8}=0.75$

• 已知目标仅(恰好)被击中了一次,则是被甲击中的概率:可以表示为$P(A|A\overline{B}\cup \overline{A}B)$

  • $$\begin{gathered} P(A|A\overline{B}\cup \overline{A}B)=\frac{P(A(A\overline{B}\cup \overline{A}B))}{P(A\overline{B}\cup \overline{A}B)}=\frac{P(AA\overline{B}\cup A(\overline{A}B))}{P(A\overline{B})+P(\overline{A}B)-P(A\overline{B}\overline{A}B)} \\ =\frac{P(A\overline{B})}{P(A\overline{B})+P(\overline{A}B)}=\frac{P(A)P(\overline{B})}{P(A)P(\overline{B})+P(\overline{A})P(B)}=\frac{0.6\ast 0.5}{0.6\ast 0.5+0.4\ast 0.5}=0.6 \end{gathered}$$

推广加法公式

• 理论上,可以反复(嵌套)使用基本的加法公式,得到包含更多事件的加法公式

3事件的加法公式

• 对于三个事件$A_1,A_2,A_3$的和事件

• $y=P(A_1\cup A_2\cup A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1{A}_2)-P(A_1{A}_3)-P(A_2{A}_3)+P(A_1{A}_2{A}_3)$

• 推导如下:

• $记D=A_1\cup A_2$

• y = P ( D ∪ A 3 ) = P ( D ) + P ( A 3 ) − P ( D A 3 ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) − P ( A 1 A 2 ) + P ( A 3 ) − P ( ( A 1 ∪ A 2 ) A 3 ) = ∑ i = 1 3 P ( A i ) − P ( A 1 A 2 ) − P ( ( A 1 A 3 ) ∪ ( A 2 A 3 ) ) \\

  y=P(D∪A3)=P(D)+P(A3)−P(DA3)=P(A1)+P(A2)−P(A1A2)+P(A3)−P((A1∪A2)A3)=∑i=13P(Ai)−P(A1A2)−P((A1A3)∪(A2A3))" role="presentation" style="position: relative;">y===P(D∪A3)=P(D)+P(A3)−P(DA3)P(A1)+P(A2)−P(A1A2)+P(A3)−P((A1∪A2)A3)∑i=13P(Ai)−P(A1A2)−P((A1A3)∪(A2A3))$$\begin{array}{rl}y=& P(D\cup A_3)=P(D)+P(A_3)-P(D{A}_3)\\ =& P(A_1)+P(A_2)-P(A_1{A}_2)+P(A_3)-P((A_1\cup A_2)A_3)\\ =& \sum _{i=1}^{3}P(A_i)-P(A_1{A}_2)-P((A_1{A}_3)\cup (A_2{A}_3))\end{array}$$
  y===​P(D∪A3​)=P(D)+P(A3​)−P(DA3​)P(A1​)+P(A2​)−P(A1​A2​)+P(A3​)−P((A1​∪A2​)A3​)i=1∑3​P(Ai​)−P(A1​A2​)−P((A1​A3​)∪(A2​A3​))​

• 其中$P((A_1{A}_3)\cup (A_2{A}_3))$=$P(A_1{A}_3)+P(A_2{A}_3)-P(A_1{A}_3{A}_2{A}_3)$;

  • $P(A_1{A}_3{A}_2{A}_3)=P(A_1{A}_2{A}_3)$
  • $y$=$(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1{A}_2)-P(A_2{A}_3)-P(A_1{A}_3)+P(A_1{A}_2{A}_3)$

• 紧凑一点写:
  y = ∑ i = 1 3 P ( A i ) − ∑ i = 1 3 P ( ⋂ j = 1 j ≠ i 3 A i ) + P ( ⋂ i = 1 3 A i ) \\y=\sum\limits_{i=1}^{3}P(A_i)-\sum\limits_{i=1}^{3} P\left( \bigcap_{

  j=1j≠i" role="presentation" style="position: relative;">j=1j≠i$$\begin{array}{r}j=1\\ j\ne i\end{array}$$
  }^{3} A_i \right) +P(\bigcap_{i=1}^{3}A_i) y=i=1∑3​P(Ai​)−i=1∑3​P ​j=1j=i​⋂3​Ai​ ​+P(i=1⋂3​Ai​)

4事件的加法公式

• $y=P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)$

  • 令$D_3=A_1\cup A_2\cup A_3$
  • $y=P(D_3\cup A_4)$=$P(D_3)+P(A_4)-P(D_3{A}_4)$
  • $P(D_3{A}_4)$=$P(A_1{A}_4\cup A_2{A}_4\cup A_3{A}_4)$
    • =$P(A_1{A}_4)+P(A_2{A}_4)+P(A_3{A}_4)$-$(P(A_1{A}_4{A}_2{A}_4)+P(A_1{A}_4{A}_3{A}_4)+P(A_2{A}_4{A}_3{A}_4))$+$P(A_1{A}_4{A}_2{A}_4{A}_3{A}_4)$
    • =$P(A_1{A}_4)+P(A_2{A}_4)+P(A_3{A}_4)$-$(P(A_1{A}_2{A}_4)+P(A_1{A}_3{A}_4)+P(A_2{A}_3{A}_4))$+$P(A_1{A}_2{A}_3{A}_4)$
  • $y$=$P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1{A}_2)-P(A_2{A}_3)-P(A_1{A}_3)+P(A_1{A}_2{A}_3)$+$P(A_4)$-[$P(A_1{A}_4)+P(A_2{A}_4)+P(A_3{A}_4)$-$(P(A_1{A}_2{A}_4)+P(A_1{A}_3{A}_4)+P(A_2{A}_3{A}_4))$+$P(A_1{A}_2{A}_3{A}_4)$]

• $$y=\sum _{i=1}^{4}P(A_i)-\sum _{1⩽i_1<i_2⩽4}{A}_{i_1}{A}_{i_2}+\sum _{1⩽i_1<i_2<i_3⩽4}{A}_{i_1}{A}_{i_2}{A}_{i_3}-\sum _{1⩽i_1<i_2<i_3<i_4⩽4}P(A_1{A}_2{A}_3{A}_4)$$

n个事件的加法公式

• 对于 {   A i   } , i ∈ {   1 , 2 , ⋯   , n   } \set{A_i},i\in\set{1,2,\cdots,n} {Ai​},i∈{1,2,⋯,n}

  • $$\begin{gathered} P(\bigcup _{i=1}^n{A}_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)-\sum _{1⩽i_1<i_2⩽n}P(A_{i_1}{A}_{i_2})+\sum _{1⩽i_1<i_2<i_3⩽n}P(A_{i_1}{A}_{i_2}{A}_{i_3})-\cdots \\ +(-1{)}^{n-1}P(\bigcap _{i=1}^n{A}_i) \end{gathered}$$

第一项

$$\begin{gathered} 第一项(绝对值)可以写作:\sum _{i=1}^{n}P(A_i)=\sum _{1⩽i_1⩽n}P(A_{i_1}); \\ (i(或者说i_1)有n个互不相同的取值,下标是用来区分不同的事件的) \\ 而这里采用二级下标i_j的形式是便于反映累加式(或者累积项的数量) \\ 用a,b,c,d\cdots ,也是可以的 \end{gathered}$$

最后一项

比如 : 其中最后一项的绝对值记为 T ( n ) = P ( ⋂ i = 1 n A i ) , 其实 , 这只是下面式子的简化后的下法 ∑ 1 ⩽ i 1 ⩽ ⋯ ⩽ i n ⩽ n P ( ⋂ j n A i j ) 其中 , 满足 1 ⩽ i 1 ⩽ ⋯ ⩽ i n ⩽ n 的序列 只有一个 , 即 , 就是 {   1 , 2 , ⋯   , n   } , 因此求和号可以不写出来 比如:其中最后一项的绝对值记为T(n)=P(\bigcap_{i=1}^{n}A_i), \\其实,这只是下面式子的简化后的下法 \\\sum\limits_{1\leqslant i_1\leqslant \cdots \leqslant i_n\leqslant n}P(\bigcap_{j}^{n}A_{i_j}) \\其中,满足1\leqslant i_1\leqslant \cdots \leqslant i_n\leqslant n的序列 \\只有一个,即,就是\set{1,2,\cdots,n} ,因此求和号可以不写出来 \\ 比如:其中最后一项的绝对值记为T(n)=P(i=1⋂n​Ai​),其实,这只是下面式子的简化后的下法1⩽i1​⩽⋯⩽in​⩽n∑​P(j⋂n​Aij​​)其中,满足1⩽i1​⩽⋯⩽in​⩽n的序列只有一个,即,就是{1,2,⋯,n},因此求和号可以不写出来

中间项

$$\begin{gathered} 如果记|T(k)|=\sum _{1⩽i_1<\cdots <i_k⩽n}P(\bigcap _{j=1}^k{A}_{i_j}) \\ T(k)=(-1{)}^{k-1}\sum _{1⩽i_1<\cdots <i_k⩽n}P(\bigcap _{j=1}^k{A}_{i_j}) \end{gathered}$$

紧凑的形式👺

• 经过上面的记号演变和说明,得到下面用求和符号以及类交符号的形式:
  • 其中重要的是通项公式$T(k)$或其绝对值$|T(k)|$的提取

$$P(\bigcup _{i=1}^n{A}_i)=\sum _{k=1}^{n}T(k)=\sum _{k=1}^n\left((-1{)}^{k-1}\cdot \left(\sum _{1⩽i_1<\cdots <i_k⩽n}P(\bigcap _{j=1}^k{A}_{i_j})\right)\right)$$

证明

• 容易知道$n$个事件的加法公式可以被$1,\cdots ,n-1$事件的加法公式所表示
• 通过猜测$n$事件公式然后用数学归纳法证明

n事件两两互斥时的加法公式(可列可加性)

• $P(\bigcup _{i=1}^n{A}_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$

加法公式在随机变量中的形式

• 离散型

  • $$\begin{gathered} 随机变量表现形式中的应用 \\ P(\bigcup _{i=1}^{n}X=x_i)=\sum _{i=1}^{n}P(X=x_i) \\ P(X⩽k)=\sum _{x_i⩽k}P(x_i) \\ P(X⩾k)=\sum _{x_i⩾k}P(x_i) \\ \sum _{x_k⩽k}和\sum _{x_k⩾k}分别代表对所有小于k的x_i与所有大于k的x_i进行求和 \end{gathered}$$

• 连续性

  • P ( a ⩽ X < b ) = P ( {   X = a   } ∪ {   a < X < b   } ) = P ( X = a ) + P ( a < X < b ) = P ( a < X < b ) \\P(a\leqslant XP(a⩽X<b)=P({X=a}∪{a<X<b})=P(X=a)+P(a<X<b)=P(a<X<b)

公式记号补充说明

$n$选$k$的元素序列记法

• 假设要从$a_1,\cdots ,a_n$中抽取出$k$个元素,那么有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$种抽法;

• 假设抽出的$k$个元素的下标从小到大排列后分别记为$i_1,\cdots ,i_k$,即$1⩽i_1<i_2<\cdots <i_k⩽i_n$,满足该不等式的解有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$种,可见,当$k=n$时,具有唯一解

• 运用:

  • 比如要计算$a_1,\cdots ,a_n$中所有$k$个元素所能构成的积的和,可以表示为$\sum _{1⩽i_1<i_2<\cdots <i_k⩽i_n}{a}_{i_1}{a}_{i_2}\cdots a_{i_k}$

refs

• An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd Edition (William Feller) .pdf
  • $\P \S$[combinaton of Event ]

• $P=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i-1}{S}_i$
• 推导:TODO