【定义】矩阵初等变换和矩阵等价

前置知识：

• 【定义】矩阵

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定义 1（初等行变换）　下面三种变换称为矩阵的行初等变换：

• 对换两行（对换 $i,j$ 两行，记作 $r_i\leftrightarrow r_j$）；
• 以数 $k\ne 0$ 乘某一行中的所有元（第 $i$ 行乘 $k$，记作 $r_i\times k$）
• 把某一行所有元的 $k$ 倍加到另一行对应的元上去（第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行上，记作 $r_i+k{r}_j$。

定义 2（初等列变换）　将定义 1 中的 “行” 换成 “列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把 “$r$” 换成 “$c$”）

矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换。

显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换；变换 $r_i\leftrightarrow r_j$ 的逆变换就是其本身；变换 $r_i\times k$ 的逆变换为 $r_i\times \frac{1}{k}$（或记作 $r_i÷k$）；变换 $r_i+k{r}_j$ 的逆变换为 $r_i+(-k)r_j$（或记作 $r_i-k{r}_j$）。

定义 3（矩阵等价）　如果矩阵 $\mathbf{A}$ 经有限次初等行变换变成矩阵 $\mathbf{B}$，就称矩阵 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 行等价，记作 $\mathbf{A}\stackrel{r}{\sim }\mathbf{B}$；如果矩阵 $\mathbf{A}$ 经有限次初等列变换变成矩阵 $\mathbf{B}$，就称矩阵 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 列等价，记作 $\mathbf{A}\stackrel{c}{\sim }\mathbf{B}$；如果矩阵 $\mathbf{A}$ 经有限次初等变换变成矩阵 $\mathbf{B}$，就称矩阵 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 等价，记作 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$。

矩阵之间的等价关系具有下列性质：

• 反身性：$\mathbf{A}\sim \mathbf{A}$；
• 对称性：若 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$，则 $\mathbf{B}\sim \mathbf{A}$；
• 传递性：若 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$，$\mathbf{B}\sim \mathbf{C}$，则 $\mathbf{A}\sim \mathbf{C}$。