【题解】同济线代习题一.8.5

计算下方行列式（ $D_n$ 为 $n$ 阶行列式）：
$D_{n} =$

| \begin{matrix} 1 + a_{1} & a_{1} & \dots & a_{1} \\ a_{2} & 1 + a_{2} & \dots & a_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n} & a_{n} & \dots & 1 + a_{n} \end{matrix} |

\tag{1}

D_{n} = 1 + a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} a_{1} 1 + a_{2} ⋮ a_{n} \dots \dots \dots a_{1} a_{2} ⋮ 1 + a_{n} (1)

\begin{align*} D_{n} & \xlongequal{\begin{align*} r_1 + r_2 \\ r_1 + r_3 \\ \cdots \\ r_1 + r_n \\\end{align*}} \begin{vmatrix} 1+a_1+a_2+\cdots + a_n & 1+a_1+a_2+\cdots + a_n & \cdots & 1+a_1+a_2+\cdots + a_n \\ a_2 & 1+a_2 & \cdots & a_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_n & a_n & \cdots & 1+a_n \\ \end{vmatrix} \\ & \xlongequal{r_1 \div (1+a_1+a_2+\cdots+a_n)} (1+a_1+a_2+\cdots+a_n) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_2 & 1+a_2 & \cdots & a_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_n & a_n & \cdots & 1+a_n \\ \end{vmatrix} \\ & \xlongequal{\begin{align*} r_2 - a_2 r_1 \\ r_3 - a_3 r_1 \\ \cdots \\ r_n - a_n r_n \end{align*}} (1+a_1+a_2+\cdots+a_n) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{vmatrix} \\ & = 1+a_1+a_2+\cdots+a_n \end{align*}

D_{n} r_{1} + r_{2} r_{1} + r_{3} \dots r_{1} + r_{n} 1 + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} a_{2} ⋮ a_{n} 1 + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} 1 + a_{2} ⋮ a_{n} \dots \dots \dots 1 + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} a_{2} ⋮ 1 + a_{n} r_{1} \div (1 + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) (1 + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) 1 a_{2} ⋮ a_{n} 1 1 + a_{2} ⋮ a_{n} \dots \dots \dots 1 a_{2} ⋮ 1 + a_{n} r_{2} - a_{2} r_{1} r_{3} - a_{3} r_{1} \dots r_{n} - a_{n} r_{n} (1 + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) 10 ⋮ 0 11 ⋮ 0 \dots \dots \dots 10 ⋮ 1 = 1 + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

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