【概率论基础进阶】多维随机变量及其分布-两个随机变量函数Z=g(X,Y)的分布

$X,Y$均为离散型随机变量

与一维离散型类似（画表，加和）

$X,Y$均为连续型随机变量

可用公式
F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { g ( X , Y ) ≤ z } = ∬ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y F_{Z}(z)=P \left\{Z \leq z\right\}=P \left\{g(X,Y) \leq z\right\}=\iint\limits_{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy FZ​(z)=P{Z≤z}=P{g(X,Y)≤z}=g(x,y)≤z∬​f(x,y)dxdy

例1：$Z=X+Y$的分布
设$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)$，则$Z=X+Y$的分布函数
F Z ( z ) = P { X + Y ≤ z } = ∬ x + y ≤ z f ( x , y ) d x d y = ∫ − ∞ + ∞ d x ∫ − ∞ z − x f ( x , y ) d y 或 ∫ − ∞ + ∞ d y ∫ − ∞ z − y f ( x , y ) d x

FZ​(z)​=P{X+Y≤z}=x+y≤z∬​f(x,y)dxdy=∫−∞+∞​dx∫−∞z−x​f(x,y)dy或∫−∞+∞​dy∫−∞z−y​f(x,y)dx​
由此可以得到$Z=X+Y$的概率密度为
$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,z-x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(z-y,y)dy$$

这里说实话我不知道为啥$(F_Z(z){)}^{\prime }=f_Z(z)$，后续尽量补上

特别是当$X$和$Y$相互独立时，$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$，则
$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)dy$$
这个公式称为卷积公式，记为
$$f_Z=f_X\ast f_Y$$

$X$为离散型随机变量，$Y$为连续型随机变量

一般对离散型随机变量$X$的各种可能用全概率公式把它们展开

$Y$为连续型，$Z=g(X,Y)$，则
F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { g ( X , Y ) ≤ z } = ∑ i P { X = x i } P { g ( X , Y ) ≤ z ∣ X = x i } 即 P ( x i ) = p i = ∑ i p i P { g ( X , Y ) ≤ z ∣ X = x i }

FZ​(z)​=P{Z≤z}=P{g(X,Y)≤z}=i∑​P{X=xi​}P{g(X,Y)≤z∣X=xi​}即P(xi​)=pi​=i∑​pi​P{g(X,Y)≤z∣X=xi​}​

Z = max ⁡ { X , Y } Z=\max \left\{X,Y\right\} Z=max{X,Y}的分布

由 max ⁡ { X , Y } \max \left\{X,Y\right\} max{X,Y}不大于$z$等价于$X$和$Y$都不大于$z$，即
F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { X ≤ z , Y ≤ z } = P { X ≤ z } P { Y ≤ z } = F X ( z ) F Y ( z )

FZ​(z)​=P{Z≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}=FX​(z)FY​(z)​

Z = min ⁡ { X , Y } Z=\min \left\{X,Y\right\} Z=min{X,Y}的分布

F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = 1 − P { Z > z } = 1 − P { X > z , Y > z } = 1 − P { X > z } P { Y > z } = 1 − ( 1 − F X ( z ) ) ( 1 − F Y ( z ) ) = F X ( z ) + F Y ( z ) − F X ( z ) F Y ( z ) 也可 F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { min ⁡ { X , Y } ≤ z } = P { X ≤ z ∪ Y ≤ z } = P { X ≤ z } + P { Y ≤ z } − P { X ≤ z , Y ≤ z } = 1 − ( 1 − F X ( z ) ) ( 1 − F Y ( z ) ) = F X ( z ) + F Y ( z ) − F X ( z ) F Y ( z )

FZ​(z)FZ​(z)​=P{Z≤z}=1−P{Z>z}=1−P{X>z,Y>z}=1−P{X>z}P{Y>z}=1−(1−FX​(z))(1−FY​(z))=FX​(z)+FY​(z)−FX​(z)FY​(z)也可=P{Z≤z}=P{min{X,Y}≤z}=P{X≤z∪Y≤z}=P{X≤z}+P{Y≤z}−P{X≤z,Y≤z}=1−(1−FX​(z))(1−FY​(z))=FX​(z)+FY​(z)−FX​(z)FY​(z)​

以上结果可以推广至$n$个相互独立的随机变量

例2：设随机变量$X$与$Y$相互独立，$X\sim E({\lambda }_1),Y\sim E({\lambda }_2),{\lambda }_1,{\lambda }_2>0$，令 Z = min ⁡ { X , Y } Z=\min \left\{X,Y\right\} Z=min{X,Y}，求$Z$的概率密度函数$f_Z(z)$

由公式
$$F_Z(x)=F_X(z)+F_Y(z)-F_X(z)F_Y(z)$$
当$z>0$时
f Z ( z ) = F Z ′ ( x ) = f X ( z ) + f Y ( z ) − f X ( z ) F Y ( z ) − F X ( z ) f Y ( z ) = ( λ 1 + λ 2 ) e − ( λ 1 + λ 2 ) z

fZ​(z)=FZ′​(x)​=fX​(z)+fY​(z)−fX​(z)FY​(z)−FX​(z)fY​(z)=(λ1​+λ2​)e−(λ1​+λ2​)z​
当$z\le 0$时
$$f_Z(z)=0$$
故
$$Z\sim E({\lambda }_1+{\lambda }_2)$$

也可用
F Z ( z ) = 1 − { P { X > z } P { Y > z } } = { 1 − e λ 1 x e − λ 2 x = 1 − e − ( λ 1 + λ 2 ) x z > 0 0 z ≤ 0 f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) = { ( λ 1 + λ 2 ) e − ( λ 1 + λ 2 ) x z > 0 0 z ≤ 0

\right.\\ f_{Z}(z)&=F'_{Z}(z)=\left\{\right. \end{aligned} FZ​(z)fZ​(z)​=1−{P{X>z}P{Y>z}}={​1−eλ1​xe−λ2​x=1−e−(λ1​+λ2​)x0​z>0z≤0​=FZ′​(z)={​(λ1​+λ2​)e−(λ1​+λ2​)x0​z>0z≤0​​
故
$$Z\sim E({\lambda }_1+{\lambda }_2)$$

例3：设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为
f ( x , y ) = { 2 − x − y 0 < x < 1 , 0 < y < 1 0 其他 f(x,y)=\left\{

\right. f(x,y)={​2−x−y0​0<x<1,0<y<1其他​

• 求 P { X > 2 Y } P \left\{X>2Y\right\} P{X>2Y}
• 求$Z=X+Y$的概率密度$f_Z(z)$

P { X > 2 Y } = ∬ x > 2 y f ( x , y ) d x d d y = ∬ D ( 2 − x − y ) d x d y = ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 2 x ( 2 − x − y ) d y = 7 24

P{X>2Y}​=x>2y∬​f(x,y)dxddy=D∬​(2−x−y)dxdy=∫01​dx∫021​x​(2−x−y)dy=247​​
有
$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,z-x)dx$$
先考虑被积函数$f(x,z-x)$中第一个自变量$x$的变化范围，只有当$0<x<1$时，$f(x,z-x)$才不等于$0$，因此被积函数上下限最大范围为$(0,1)$
再考虑被积函数$f(x,z-x)$中第二个自变量$z-x$的变化范围，只有当$0<z-x<1$时，$f(x,z-x)$不为$0$，因此需要对$z$分区间讨论
当$z\le 0$时，由于$0<x<1$，故$z-x<0$，所以
$$f_Z(z)=0$$
当$0<z\le 1$时，
$$f_Z(z)={\int }_0^z(2-z)dx=2z-z^2$$
当$1<z\le 2$
$$f_Z(z)={\int }_{z-1}^1(2-z)dx=4-4z+z^2$$
当$2<z$时，由于$0<x<1$，故$z-x>0$，所以
$$f_Z(z)=0$$
因此
f Z ( z ) = { 2 z − z 2 0 < z ≤ 1 4 − 4 z + z 2 1 < z ≤ 2 0 其他 f_{Z}(z)=\left\{

2z−z20<z≤14−4z+z21<z≤20其他" role="presentation" style="position: relative;">2z−z24−4z+z200<z≤11<z≤2其他$$\begin{array}{rlr}& 2z-z^2& 0<z\le 1\\ & 4-4z+z^2& 1<z\le 2\\ & 0& 其他\end{array}$$

\right. fZ​(z)=⎩ ⎨ ⎧​​2z−z24−4z+z20​0<z≤11<z≤2其他​

这里直接用最基本的方法比卷积公式简单

F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { X + Y ≤ z } = ∬ x + y ≤ z f ( x , y ) d x d y F_{Z}(z)=P \left\{Z \leq z\right\}=P \left\{X+Y \leq z\right\}=\iint\limits_{x+y \leq z}f(x,y)dxdy FZ​(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=x+y≤z∬​f(x,y)dxdy
当$z\le 0$时，
$$F_Z(z)=0$$
当$0<z\le 1$时，
F Z ( z ) = ∬ D 1 f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 x d x ∫ 0 z − x ( 2 − x − y ) d y = z 2 − 1 3 z 3

FZ(z)=∬D1f(x,y)dxdy=∫0xdx∫0z−x(2−x−y)dy=z2−13z3" role="presentation" style="position: relative;">FZ(z)=∬D1f(x,y)dxdy=∫x0dx∫z−x0(2−x−y)dy=z2−13z3$$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =\underset{D_1}{\iint }f(x,y)dxdy\\ & ={\int }_0^{x}dx{\int }_0^{z-x}(2-x-y)dy\\ & =z^2-\frac{1}{3}{z}^3\end{array}$$

FZ​(z)​=D1​∬​f(x,y)dxdy=∫0x​dx∫0z−x​(2−x−y)dy=z2−31​z3​
当$1<z\le 2$时
F Z ( z ) = 1 − ∬ x + y > z f ( x , y ) d x d y = 1 − ∬ D 2 f ( x , y ) d x d y = 1 − ∫ z − 1 1 d x ∫ z − x 1 ( 2 − x − y ) d y = 1 3 z 3 − 2 z 2 + 4 z − 5 3

FZ(z)=1−∬x+y>zf(x,y)dxdy=1−∬D2f(x,y)dxdy=1−∫z−11dx∫z−x1(2−x−y)dy=13z3−2z2+4z−53" role="presentation" style="position: relative;">FZ(z)=1−∬x+y>zf(x,y)dxdy=1−∬D2f(x,y)dxdy=1−∫1z−1dx∫1z−x(2−x−y)dy=13z3−2z2+4z−53$$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =1-\underset{x+y>z}{\iint }f(x,y)dxdy\\ & =1-\underset{D_2}{\iint }f(x,y)dxdy\\ & =1-{\int }_{z-1}^{1}dx{\int }_{z-x}^1(2-x-y)dy\\ & =\frac{1}{3}{z}^3-2z^2+4z-\frac{5}{3}\end{array}$$

FZ​(z)​=1−x+y>z∬​f(x,y)dxdy=1−D2​∬​f(x,y)dxdy=1−∫z−11​dx∫z−x1​(2−x−y)dy=31​z3−2z2+4z−35​​
当$2<z$时，
$$F_Z(z)=1$$
所以
f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) = { 2 z − z 2 0 < z ≤ 1 4 − 4 z + z 2 1 < z ≤ 2 0 其他 f_{Z}(z)=F'_{Z}(z)=\left\{

2z−z20<z≤14−4z+z21<z≤20其他" role="presentation" style="position: relative;">2z−z24−4z+z200<z≤11<z≤2其他$$\begin{array}{rlr}& 2z-z^2& 0<z\le 1\\ & 4-4z+z^2& 1<z\le 2\\ & 0& 其他\end{array}$$

\right. fZ​(z)=FZ′​(z)=⎩ ⎨ ⎧​​2z−z24−4z+z20​0<z≤11<z≤2其他​

例4：设二维随机变量$(X,Y)$服从正态分布$N(1,0;1,1;0)$，则 P { X Y − Y < 0 } = ( ) P \left\{XY-Y<0\right\}=() P{XY−Y<0}=()

由于$\rho =0$，因此$X$与$Y$相互独立，且$X\sim N(1,1),Y\sim N(0,1)$，也就有$(X-1)\sim N(0,1)$与$Y$相互独立
根据正态分布密度的对称性，有
P { X − 1 < 0 } = P { X − 1 > 0 } = P { Y < 0 } = P { Y > 0 } = 1 2 P \left\{X-1<0\right\}=P \left\{X-1>0\right\}=P \left\{Y<0\right\}=P \left\{Y>0\right\}=\frac{1}{2} P{X−1<0}=P{X−1>0}=P{Y<0}=P{Y>0}=21​
因此
P { X Y − Y < 0 } = P { ( X − 1 ) Y < 0 } = P { X − 1 < 0 , Y > 0 } + P { X − 1 > 0 , Y < 0 } = P { X − 1 < 0 } P { Y > 0 } + P { X − 1 > 0 } P { Y < 0 } = 1 2

P{XY−Y<0}=P{(X−1)Y<0}=P{X−1<0,Y>0}+P{X−1>0,Y<0}=P{X−1<0}P{Y>0}+P{X−1>0}P{Y<0}=12" role="presentation" style="position: relative;">P{XY−Y<0}=P{(X−1)Y<0}=P{X−1<0,Y>0}+P{X−1>0,Y<0}=P{X−1<0}P{Y>0}+P{X−1>0}P{Y<0}=12$$\begin{array}{rl}P\left\{XY-Y<0\right\}& =P\left\{(X-1)Y<0\right\}\\ & =P\left\{X-1<0,Y>0\right\}+P\left\{X-1>0,Y<0\right\}\\ & =P\left\{X-1<0\right\}P\left\{Y>0\right\}+P\left\{X-1>0\right\}P\left\{Y<0\right\}\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$

P{XY−Y<0}​=P{(X−1)Y<0}=P{X−1<0,Y>0}+P{X−1>0,Y<0}=P{X−1<0}P{Y>0}+P{X−1>0}P{Y<0}=21​​

CSDN话题挑战赛第2期
参赛话题：学习笔记