【考研】串的模式匹配算法——KMP算法（含真题）

前言

本文内容源于对《数据结构（C语言版）》（第2版）、王道讲解学习所得心得、笔记整理和总结，以便复习。

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目录

前言

一、基本概念

二、KMP算法

三、KMP算法的进一步优化

四、习题

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一、基本概念

1、串的模式匹配：子串（即模式串）的定位操作，即求子串在主串中的位置。

例1：设有两个串S1 和串S2 ，求 S2 在 S1 中首次出现的位置的运算称为模式匹配。

2、字符串的前缀、后缀和部分匹配值

（1）前缀：除最后一个字符以外，字符串的所有头部子串。

（2）后缀：除第一个字符以外，字符串的所有尾部子串。

（3）部分匹配值：字符串的前缀和后缀的最长相等前后缀长度。

例2：以 ‘ ababa ’ 为例：

所以，串 S 的 ‘ ababa ’ 的部分匹配值为 00123，部分匹配值（Partial Match，PM）的表如下：

二、KMP算法

已知：右移位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值 

写成：Move = (j - 1) - PM[j - 1]

针对例 2 ，PM 表右移一位，得到 next 数组：

改写成：Move = (j - 1) - next[j]

相当于将子串的比较指针回退到 j = j - Move = next[j] + 1，

为了使公式更简洁，将 next 数组整体加1：

即子串指针变化公式为 j = next[j]。

在实际匹配过程中，子串在内存里是不会移动的，而是指针在变化。

next[j] 的含义：在子串的第 j 个字符与主串发生失配时，则跳到子串的 next[j] 位置重新与主串当前位置进行比较。

当模式串第一个字符 (j = 1) 与主串第 i 个字符发生失配时，规定 next[1] = 0。将模式串右移一位，从主串的下一个位置 (i + 1) 和模式串的第一个字符继续比较。

例3：求模式串的 next 值：

上表中，已求得6个字符的 next 值，现求 next[7]。

解法一：（选择题中常用方法）

‘a'，最长相等前后缀长度为 0

’ab'，最长相等前后缀长度为 0

'aba'，最长相等前后缀长度为 1

'abaa'，最长相等前后缀长度为 1

'abaab'，最长相等前后缀长度为 2

'abaabc'，最长相等前后缀长度为 0 

'abaabca'，最长相等前后缀长度为 1

'abaabcab'，最长相等前后缀长度为 2

'abaabcaba' ，最长相等前后缀长度为 3

串 S 的 'abaabcaca' 的部分匹配值为 0 0 1 1 2 0 1 2 3

PM 表右移一位，得到 next 数组：-1 0 0 1 1 2 0 1 2

                        next 数组整体加1：0 1 1 2 2 3 1 2 3

由此可知，next[7] = 1;           next[8] = 2;           next[9] = 3; 

解法二：

关键点：若  ， 则 next[j+1] = next[j] + 1，否则令 j = next[j]，继续比较

因为 next[6] = 3，又 ，则需比较  和  (因 next[3] = 1)，

由于   而 next[1] = 0，所以 next[7] = 1；

求 next[8]，因 ，则 next[8] = next[7] + 1 = 2;

求 next[9]，因 ，则 next[9] = 3。

求 next 值的程序如下:

void get_next (String T, int next []) {
    int i，j = 0;
    next = 0;
    while(i < T.length){
        if(j == 0 || T.ch[i] == T.ch[j]){
            ++i; 
            ++j;
            next[i] = j;    //若pi = pj， 则 next[j+1] = next[j] + 1
        }
        else{
            j = next[j];    //否则令 j = next[j], 循环继续
        }
    }
}

KMP的匹配算法：

与 next 数组的求解相比，KMP的匹配算法相对要简单很多，它在形式上与简单的模式匹配算法很相似。不同之处仅在于当匹配过程产生失配时，指针 i 不变，指针 j 退回到 next[j] 的位置并重新进行比较，并且当指针 j 为 0 时，指针 i 和 j 同时加1。

即若主串的第 i 个位置和模式串的第一个字符不等，则应从主串的第 i + 1 个位置开始匹配。

具体代码如下:

int Index_KMP(String S, String T, int next[]){
    int i = 1, j = 1;
    while (i <= S.length && j <= T.length){
        if(j == 0 || S.ch[i] == T.ch[j]){     //继续比较后继字符
            ++i; 
            ++j;    
        }
        else{
            j = next[j];     //模式串向右移动
        }
    }
    if (j > T.length)
        return i - T.length;     //匹配成功
    else
        return 0;
}

时间复杂度为 O(m + n)。

【注意】尽管普通模式匹配的时间复杂度是O(mn)，KMP算法的时间复杂度是O(m + n)，但在一般情况下，普通模式匹配的实际执行时间近似为O(m + n)，因此至今仍被采用。

KMP算法仅在主串与子串有很多 “ 部分匹配 ” 时才显得比普通算法快得多，其主要优点是主串不回溯。
 

三、KMP算法的进一步优化

更新后的数组命名为 nextval，计算 next 数组修正值的算法如下，此时匹配算法不变。

void get_nextval (String T,int nextval[]){
    int i = 1, j = 0;
    nextval[1] = 0;
 
    while(i < T.length){
        if(j == 0 || T.ch[i] == T.ch[j]){
            ++i; 
            ++j;
            if(T.ch[i] != T.ch[j]) 
                nextvall[i] = j;
            else
                nextval[i] = nextval[j];
        else
            j = nextval[j];
    }
}

nextval 详细的手动计算方式请见习题 2 。

四、习题

1、KMP 算法的特点是在模式匹配时指示主串的指针(     B     )
A. 不会变大                 B. 不会变小                  C.都有可能                  D. 无法判断

 解：在 KMP 算法的比较过程，主串不会回溯，所以主串的指针不会变小。

2、串 'ababaaababaa' 的 nextval 数组为(      C      )。
A. 0,1, 0,1, 1, 2, 0,1, 0, 1, 0, 2                     B. 0, 1, 0, 1, 1, 4, 1, 1, 0, 1, 0, 2
C. 0,1, 0,1, 0, 4, 2,1, 0, 1, 0, 4                     D. 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 4

解：【注意】如果串的位序是从 1 开始的，则 next 数组需要整体加1，若串的位序从 0 开始，则 next 数组不需要整体加 1。

由选项可知，nextval 数组由 0 开始，因为 nextval[1] = 0，可知串的位序从 1 开始。

（1）求 next 数组：

'a'，最长相等前后缀长度为 0

'ab'，最长相等前后缀长度为 0

'aba'，最长相等前后缀长度为 1

'abab'，最长相等前后缀长度为 2

'ababa'，最长相等前后缀长度为 3

'ababaa'，最长相等前后缀长度为 1

'ababaaa'，最长相等前后缀长度为 1

'ababaaab'，最长相等前后缀长度为 2

'ababaaaba'，最长相等前后缀长度为 3

'ababaaabab'，最长相等前后缀长度为 4

'ababaaababa'，最长相等前后缀长度为 5

'ababaaababaa'，最长相等前后缀长度为 6

串 S 的 'abaabcaca' 的部分匹配值为 0 0 1 2 3 1 1 2 3 4 5 6

PM 表右移一位，得到 next 数组：-1 0 0 1 2 3 1 1 2 3 4 5

因为串的位序是从 1 开始的，所以 next 数组整体加 1：0 1 1 2 3 4 2 2 3 4 5 6 

（2）求 nextval 数组：

得出串 S = 'ababaaababaa' 的 next 数组后，有下表：

从 j = 2 开始，依次判断 ，是否等于  ？

不相等：nextval[j] = next[j]

相等：将 next[j] 修正为 next[next[j]]，直至两者不相等为止。

步骤1：令 nextval[1] = next[1] = 0

步骤2：j = 2, next[j] = next[2] = 1, 则 p2 = b ≠ p1 = a，nextval[2] = next[2] = 1

步骤3：j = 3, next[j] = next[3] = 1, 则 p3 = p1 = a，则 nextval[3] = nextval[next[3]] = nextval[1] = 0

步骤4：j = 4, next[j] = next[4] = 2, 则 p4 = p2 = b，则 nextval[4] = nextval[next[4]] = nextval[2] = 1

步骤5：j = 5, next[j] = next[5] = 3, 则 p5 = p3 = a，则 nextval[5] = nextval[next[5]] = nextval[3] = 0

步骤6：j = 6, next[j] = next[6] = 4, 则 p6 = a ≠ p4 = b，则 nextval[6] = next[6] = 4

步骤7：j = 7, next[j] = next[7] = 2, 则 p7 = a ≠ p2 = b，则 nextval[6] = next[7] = 2

步骤8：j = 8, next[j] = next8] = 2, 则 p8 = p2 = b，则 nextval[8] = nextval[next[8]] = nextval[2] = 1

步骤9：j = 9, next[j] = next[9] = 3, 则 p9 = p3 = a，则 nextval[9] = nextval[next[9]] = nextval[3] = 0

步骤10：j=10, next[10] = 4, 则 p10 = p4 = b,则 nextval[10] = nextval[next[10]] = nextval[4] = 1

步骤11：j=11, next[11] = 5, 则 p11 = p5 = a,则 nextval[11] = nextval[next[11]] = nextval[5] = 0

步骤12：j=12, next[12] = 6, 则 p12 = p6 = a,则 nextval[12] = nextval[next[12]] = nextval[6] = 4

串 'ababaaababaa' 的 nextval 数组为 0 1 0 1 0 4 2 1 0 1 0 4

由上述推理可知，答案选C。

【注意】

在步骤 5 的推理中， ，按前面的讲解部分，应该继续让 和  比较，（恰好 )，注意到此时 nextval[3] 的值已存在，故直接将 nextval[5]赋值为 nextval[3]。

对于一般情况，nextval 数组是从前往后逐步求解的，

发生  时，因为 nextval[next[j]] 早已求得，

所以直接将 nextval[j] 赋值为 nextval[next[j]]。
 

3、【2015统考真题】已知字符串 S 为 'abaabaabacacaabaabcc'，模式串 t 为' abaabc'，采用 KMP 算法进行匹配，第一次出现“失配” (s[i] ≠ t[j]) 时，i = j = 5， 则下次开始匹配时，i 和 j 的值分别是( C )
A. i = 1, j = 0                                               B. i = 5, j = 0
C. i = 5, j = 2                                               D. i = 6, j = 2

解： KMP的匹配算法在于当匹配过程产生失配时，指针 i 不变，指针 j 退回到 next[j] 的位置并重新进行比较，并且当指针 j 为 0 时，指针 i 和 j 同时加1。

所以， i = 5，j = next[j] = next[5]，关键是求 next 数组

由题知，主串和模式串的位序都是从 0 开始的，将PM右移一位后得到 next 数组：

由上表知 next[5] = 2，即 j = 2。

4、【2019统考真题】设主串T = ' abaabaabcabaabc ', 模式串 s = 'abaabc', 采用 KMP 算法进行模式匹配，到匹配成功时为止，在匹配过程中进行的单个字符间的比较次数是(    B   )。
A. 9                           B. 10                      C.12                         D. 15

解：模式串 s = 'abaabc'，最长相等前后缀长度有：

‘a'，最长相等前后缀长度为 0

‘ab'，最长相等前后缀长度为 0

‘aba'，最长相等前后缀长度为 1

‘abaa'，最长相等前后缀长度为 1

‘abaab'，最长相等前后缀长度为 2

‘abaabc'，最长相等前后缀长度为 0

所以，模式串 s = 'abaabc' 的部分匹配值 PM 为 001120

将 PM 右移一位，得 next 数组为 -1 0 0 1 1 2，即如下表：

【注意】如果串的位序是从 1 开始的，则 next 数组需要整体加1，若串的位序从 0 开始，则 next 数组不需要整体加 1。

第一趟连续比较 6 次，在模式串的 5 号位和主串的 5 号位匹配失败，模式串的下一个比较位置为 next[5] = 2，即下一次比较从模式串的 2 号位和主串的 5 号位开始，然后直到模式串 5 号位和主串8 号位匹配，第二趟比较 4 次，模式串匹配成功。

单个字符的比较次数为10次，因此选B。