20220725 自动控制原理中的补偿器

Bode图的幅频定义

幅值的定义是$$20\log |G(j{\omega }_i)|$$

因此，0 dB指幅值不变。

注：为什么这里有个20？这是因为定义分贝的时候，往往使用功率，功率往往是幅度大小的平方项，另外乘以10倍以增大数值。即$$20\log |G(j{\omega }_i)|=10\log |G(j{\omega }_i){|}^2$$

另外，起点，即 ${\omega }_i=0$ 时，可以利用 $s=0$ 计算dB数。

尾1形式，有助于规律记忆

写成尾1形式更容易记住规律。

一阶系统 $G(s)=\frac{1}{\frac{1}{a}s+1}$，$a$ 是截至频率

起点：$G(s)=1$，即 0 dB。
大概猜一下：当 ${\omega }_i$ 较小，起点占主导；当 ${\omega }_i$ 较大，退化为 $G(s)=\frac{1}{s}$，也就是积分环节，积分环节幅值是一条斜率 -20 dB 的斜线，滞后 90°。

当 $a=5$ rad/sec，Bode图如下

当 $a=10$ rad/sec，Bode图如下

注1：截至频率越大，对于高频信号的保真也就越好，也就是说系统的反应能力更快。给一个阶跃，其调节时间也就越短。

注2：左边是从0 dB开始的，符合之前的猜测。

PD系统 $G(s)=\frac{1}{a}s+1$

起点：$G(s)=1$，即 0 dB。
大概猜一下：当 ${\omega }_i$ 较小，起点占主导；当 ${\omega }_i$ 较大，退化为 $G(s)=s$，也就是微分环节，微分环节幅值是一条斜率 20 dB 的斜线，超前 90°。

当 $a=5$ rad/sec，Bode图如下

超前补偿器 $G(s)=\frac{s+5}{s+10}$

先写成尾1形式，即 $$G(s)=\frac{5}{10}(\frac{1}{5}s+1)\frac{1}{\frac{1}{10}s+1}$$这是纯比例+PD+一阶系统

猜测环节：当 ${\omega }_i$ 很小时，纯比例起作用，即幅值为 $20\log \frac{5}{10}$；当 ${\omega }_i=5$ 和 ${\omega }_i=10$，PD和一阶系统分别起作用。

$G(s)=\frac{5}{10}$的Bode图如下：

$G(s)=\frac{1}{5}s+1$的Bode图如下：

$G(s)=\frac{1}{10}s+1$的Bode图如下：

$G(s)=\frac{s+5}{s+10}$的Bode图是以上三幅图的叠加，如下：

滞后补偿器 $G(s)=\frac{s+10}{s+5}$

口诀：写成尾1形式，找到关键频率，分母幅值向下，分子幅值向上。
技巧：对于最小相位系统而言，Phase大概呈现出Magnitude的斜率。