小学数学学习：神奇的走马灯数 142857

现在的小朋友，能看到走马灯实物的机会恐怕不多了。

走马灯是我国传统节日装饰玩具之一，常见于元宵中秋等传统节日。灯内点上蜡烛，燃烧产生的热力造成气流，带动轮轴转动。烛光将灯壁布置的剪纸图案投射出来，造成影像不断旋转移动的效果。

古代的走马灯，灯壁各面习惯绘制古代武将骑马作战的图案，动态转动时视觉效果仿佛几位武将你追我赶一样，故得名为走马灯。

我们假设有一盏具有 6 个面的走马灯，六个面依次标注上 1 4 2 8 5 7 六个数，这六个数构成了所谓的走马灯数。网上有一种说法，这个数字最早见于一座埃及金字塔内部。

这个数有一些神奇的规律，本文记录如下。

首先它是一个质数，142857 = 3 × 3 × 3 × 11 × 13 × 37

将这个数分别与 1 ～6 相乘，所得乘积，仍然由 1 4 2 8 5 7 六位数字组成。

142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

并且乘积满足这样的规律，最高位的数字，就是以乘数为索引值，在 [1，4，2，8，5，7] 这个整数数组进行排序后的新数组 [1，2，4，5，7，8] 里摘取的对应元素，假设数组索引以 1 开头。

例如 5 × 142857，乘数是 5，在数组 [1，2，4，5，7，8] 的第 5 个元素是 7，那么积的最高位是 7，然后将剩下的走马灯数位 1 4 2 8 5 补全即可。

而 7 × 142857 = 999999，因此有些人戏称，走马灯数 142857 与 1～6 的乘积，代表星期一到星期六轮流值班，而与 7 的乘积 999999，代表星期日也就是休息日。

上述乘法算式，可以转换成下列的加法算式，完全等价：

142857 + 142857 = 285714
285714 + 142857 = 428571
428571 + 142857 = 571428
571428 + 142857 = 714285
714285 + 142857 = 857142
857142 + 142857 = 999999

既然一个星期只有 7 天，那么乘数超过 7 会如何？

142857 × 8 = 1142856（数字 7 分身，即分为头一个数字 1 与尾数 6，然后再数列内去掉 7）

按照这个规律进行下去，同理可得：

142857 × 9 = 1285713（4 分身）
142857 × 10 = 1428570（1 分身）
142857 × 11 = 1571427（8 分身）
142857 × 12 = 1714284（5 分身）
142857 × 13 = 1857141（2 分身）
142857 × 14 = 1999998（9 分身）

这里应该挑选哪一个数进行分身？假设乘数为 n，则需要分身的数，等于 7 × n 的积的个位 + 1.

142857 与 9 还有一些神奇的渊源。

142 + 857 = 999

14 + 28 + 57 = 99

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27，而 2 + 7 = 9

这是不是暗示了中国传统文化里所说的九九归一？

142857 乘以含 7 的任意数字，积的各个数字之和等于36，例如：

142857 × 17 = 2428569 -> 2 + 4 + 2 + 8 + 5 + 6 + 9 = 36
142857 × 27 = 3857139 -> 3 + 8 + 5 + 7 + 1 + 3 + 9 = 36
142857 × 37 = 5285709 -> 5 + 2 + 8 + 5 + 7 + 0 + 9 = 36
142857 × 47 = 6714279 -> 6 + 7 + 1 + 4 + 2 + 7 + 9 = 36
…
142857 * 717 = 102428469 -> 1 + 0 + 2 + 4 + 2 + 8 + 4 + 6 + 9 = 36

我们再来看除法。

用 1～6 数字除以 7，得到的无限循环小数，其循环节仍然是有规律的走马灯数。

对走马灯数这些规律的证明已经超出了小学数学的范畴，本文略过。

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