【动态规划】leetcode 96. 不同的二叉搜索树

96. 不同的二叉搜索树

题目描述

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例1：

输入： n = 3
输出： 5

示例2：

输入： n = 1
输出： 1

提示

• $1<=n<=19$

方法：动态规划

解题思路

1. 确定 dp 数组以及下标的含义
   dp[i] ：1 到 i 为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。

2. 确定递推公式
   dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
   j-1 为 j 为头结点左子树节点数量，i - j 为以 j 为头结点右子树节点数量。

3. dp 数组如何初始化
   dp[0] = 1;

4. 确定遍历顺序
   首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。

   那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。

5. 举例推导 dp 数组
   拿示例 2：n = 5

   下标 i	0	1	2	3	4	5
   dp[i]	1	1	2	5	14	42

代码

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= i; j++)
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
        return dp[n];
    }
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n\times n)$。
• 空间复杂度：$O(n)$。