单指标时间序列异常检测——基于重构概率的变分自编码（VAE）代码实现（详细解释）

1. 编写目的

不少论文都是基于VAE完成的异常检测，比如 Donut 、Bagel。尽管 Donut 实现的模型很容易通过继承于重写父类方法的方式实现一个 VAE-baseline，并且 Bagel 中自带了一个 VAE-baselina（感兴趣的小伙伴可以前去查看一下源码），但为了简化过程，详细解释 VAE 用于单指标时间序列异常检测的方法，我重新实现了一个简单的 VAE-baselina，并进行了详细的解释，希望可以帮助到需要的小伙伴们。

可以的话，点个赞并发表评论吧 ~ 一定回复 ~~

2. 参考资料

版权声明

未经本人 (smile-yan) 允许，不得转发与转载。

3. 源代码

整个项目的源码地址为：https://github.com/smile-yan/vae-anomaly-detection-for-timeseries，觉得可以的话，顺手点个星星吧，感谢~

3.1 网络结构

图片源地址为龙书作者开源地址 https://github.com/dragen1860/TensorFlow-2.x-Tutorials/tree/master/12-VAE

我们简化整个过程，写到 VAE 的初始化函数中如下所示：

class VAE(tf.keras.Model):
    def __init__(self, latent_size=4):
        super(VAE, self).__init__()
        # 与输入数据对接
        self.fc1 = tf.keras.layers.Dense(100)
        # fc1 => μ and log σ^2
        self.fc2 = tf.keras.layers.Dense(latent_size)
        self.fc3 = tf.keras.layers.Dense(latent_size)

        # decode  
        self.fc4 = tf.keras.layers.Dense(100)
        # 试图还原原始数据
        self.fc5 = tf.keras.layers.Dense(120)
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所以这个部分可以概述为 fc1 与 fc2 构成了 encode 的过程，此过程完成以后，我们可以得到由 $\mu$ 和 $\log {\sigma }^2$ 组成的隐变量。

而 decode 过程则是分两步还原原始数据。

3.2 encode 过程

初始化过程只是初始化我们要用的变量，真正的 编码过程从这个函数开始，这个过程是非常简单的，可以看作盲盒降维操作。

    def encode(self, x):
        """encode过程，返回 μ 和 log σ^2
        :param x: 单窗口数据
        :return:  μ 和 log σ^2
        """
        h = tf.nn.relu(self.fc1(x))
        # mu, log_variance
        return self.fc2(h), self.fc3(h)
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3.3 decode 过程

为了重用方便，将 decode 按照是否使用 sigmoid 函数分为两个过程，这个与 https://tensorflow.google.cn/tutorials/generative/cvae 的 decode 函数添加一个参数的效果是一样的。

    def decode_logits(self, z):
        h = tf.nn.relu(self.fc4(z))
        return self.fc5(h)

    def decode(self, z):
        return tf.nn.sigmoid(self.decode_logits(z))
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3.4 概率密度方法（Probability Density Function）

decode 过程可以分为两个步骤，如下面右图所示，可以理解为 $g(z)$ 对应的是一个数据分布，而 $g(z)$ 以后的就是重构数据，也就是说重构数据可以理解为从这个分布中采样而得到的，当然，深度神经网络采样过程是模糊的，所以这样的对应关系可以理解为采样得到的，至于怎么采样就是神经网络的参数调整过程了。

所以训练目标，就是使得得到的分布 $g(z)$ 中采样得到的 $x^{\prime }$ 尽可能地接近于观测数据 $x$。接下来我们计算重构概率就是基于这个理论：

使用正常数据训练模型后，对于测试数据 $x_t$：

• 如果它是正常数据，那么它在 $g(z)$ 对应的分布中，分布密度较大；
• 如果它是异常数据，那么它在 $g(z)$ 对应的分布中，分布密度较小。

所以计算一个测试数据的重构概率，实质就是计算这个 $g(z)$ 分布中的分布密度。

考虑到没有基础的小伙伴们，现在我们快速需要介绍一下分布密度的计算：

这里是参考维基百科的内容 https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_density_function :

更一般的情况，我们会计算分布密度的对数值，这里做一个简单的公式推导：

$$\begin{gathered} \text{log\_normal\_pdf}(x;\mu ,{\sigma }^2)=\log \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu }{\sigma }{)}^2} \\ =-\log (\sigma \sqrt{2\pi })-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu }{\sigma }{)}^2 \\ =-\log \sigma -\frac{1}{2}\log 2\pi -\frac{1}{2}(\frac{x-\mu }{\sigma }{)}^2 \\ =-\frac{1}{2}(\log {\sigma }^2+\log 2\pi +\frac{(x-\mu {)}^2}{{\sigma }^2})\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

所以我们可以得到一个 log_normal_pdf 的 python 代码，如下所示：

def log_normal_pdf(sample, mean, log_var, axis=1):
    log2pi = tf.math.log(2. * np.pi)
    return tf.reduce_sum(-.5 * ((sample - mean) ** 2. * tf.exp(-log_var) + log_var + log2pi), axis=axis)
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在后面的内容中我们会多次用到这个计算方法。

3.5 重参数化

重参数化过程就是建立 $z$ 与 $\mu$ 、 $\sigma$ 之间的关系，为了简化这个关系一般都会直接使用最简单的线性关系（同时也要考虑到梯度下降的需要），所以会令

$$z=\mu +\epsilon \cdot \sigma \text{\hspace{1em}(2)}$$

这个对应的python 代码实现非常简单：

def reparameterize(mu, log_var):
    """重参数化，计算隐变量 z = μ + ε ⋅ σ
    :param mu:  均值
    :param log_var: 方差的 log 值
    :return: 隐变量 z
    """
    std = tf.exp(log_var * 0.5)
    eps = tf.random.normal(std.shape)

    return mu + eps * std
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3.6 VAE 的损失函数 ELBO 的计算

在 《VAE 模型基本原理简单介绍》 中我们已经比较了解了VAE的面貌，VAE 的损失函数 ELBO 的计算方法如下公式：

$$\log p(x)\ge \text{ELBO}={\mathbb{E}}_{q(z|x)}\left[\log \frac{p(x,z)}{q(z|x)}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$

为了方便我们利用对数函数的性质拆解成三个式子的和：

$$\text{ELBO}={\mathbb{E}}_{q(z|x)}\left[\log p(x|z)+\log p(z)-\log q(z|x)\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$

像这种条件概率计算一般可以使用蒙特卡洛方法进行求解，也就转换成 从特定分布 $q(z|x)$ 中采样得到 $z$ ，然后计算一下式子的值：
$$\log p(x|z)+\log p(z)-\log q(z|x)\text{\hspace{1em}(5)}$$

现在开始写代码求解这个式子：

def compute_loss(model, x):
    mean, log_var = model.encode(x)
    z = reparameterize(mean, log_var)
    x_logit = model.decode_logits(z)
    cross_ent = tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(logits=x_logit, labels=x)
    log_p_x_z = -tf.reduce_sum(cross_ent)
    log_p_z = log_normal_pdf(z, 0., 0.)
    log_q_z_x = log_normal_pdf(z, mean, log_var)
    return -tf.reduce_mean(log_p_x_z + log_p_z - log_q_z_x)
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因为最终我们需要的是一个double类型的数值，所以最后一步是 tf.reduce_mean。

3.7 训练过程

@tf.function
def train_step(model, x, optimizer):
    with tf.GradientTape() as tape:
        loss = compute_loss(model, x)
    gradients = tape.gradient(loss, model.trainable_variables)
    optimizer.apply_gradients(zip(gradients, model.trainable_variables))
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3.8 重构概率计算函数

这个地方一定要参考原论文 《Variational Autoencoder based Anomaly Detection using Reconstruction Probability》，关于重构概率的计算，原文中的描述为：
The reconstruction probability that is calculated here is the Monte Carlo estimate of $E_{q_{\varphi }(z|x)}[\log p_{\theta }(x|z)]$, the second term of the right hand side of equation (7).

摘录其中的算法截图如下：

为了观看更加方便，我们把 $x^{(i)}$ 看作一次测试数据，这里的对应是一个窗口的数据，所以整个过程，我们写一下：

1. $\mu$,$\sigma$ = $\text{encoder}(x)$；
2. 进行 $L$ 次重参数化，得到 $L$ 个 $z$，也可以理解为 $L$ 个正态分布 $z\sim \mathcal{N}({\mu }_{z^{(i)}},{\sigma }_{z^{(i)}})$；
3. 对于每一个 $z\sim \mathcal{N}({\mu }_{z^{(i)}},{\sigma }_{z^{(i)}})$，进行 decode 操作，并计算 每一次重构数据与原始数据（观测数据）之间的差异。换句话说，decode 之后，在添加 sigmoid 之前，计算 log_p_x_z 作为本次数据的重构概率。

def reconstruction_prob(self, x, L=10):
    mean, log_var = self.encode(x)
    samples_z = []
    for i in range(L):
        z = reparameterize(mean, log_var)
        samples_z.append(z)
    reconstruction_prob = 0.
    for z in samples_z:
        x_logit = self.decode_logits(z)
        cross_ent = tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(logits=x_logit, labels=x)
        log_p_x_z = -tf.reduce_sum(cross_ent)
        reconstruction_prob += log_p_x_z

    return reconstruction_prob / L
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3.9 数据窗口化处理

给定一个时序数据，不断切片，处理成多个窗口数据。

3.10 寻找最合适的重构概率阈值

异常检测是一个二分类任务，因此需要寻找一个合适的重构概率阈值，与每一个点的重构概率进行比较大小，从而确定是否为异常。

关于如何找到最合适的阈值可以参考我以前的一篇博客 快速求解 best F1-score 以及对应的阈值。

4. 直接入手 demo

4.1 clone 到本地

$ git clone git@github.com:smile-yan/vae-anomaly-detection-for-timeseries.git
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4.2 安装依赖

依赖比较少，主要就是 tensorflow 2.x

$ cd vae-anomaly-detection-for-timeseries
$ pip install -r requirement.txt
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4.3 运行 demo

$ python main.py
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输出效果如下：

The size of train_value_windows is 12179.
The size of test_value_windows is 5151.
Epoch: 1/2, test set ELBO: -38.2476, train time elapse : 77.35 s, test time elapse : 10.38 s
Epoch: 2/2, test set ELBO: -37.8864, train time elapse : 76.15 s, test time elapse : 10.94 s
Epoch: 1/2, test set ELBO: -38.2476, train time elapse : 77.35 s, test time elapse : 10.38 s
Epoch: 2/2, test set ELBO: -37.8864, train time elapse : 76.15 s, test time elapse : 10.94 s
The best threshold: 0.3978
The best f1-score: 0.4375
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4.4 任何疑问欢迎留言

如果查看源码遇到不理解之处，结合本文依然不能理解的话，请在下面评论，一定想办法解决问题。感谢支持~~

如果觉得不错，请务必点个赞吧~~您的支持是我更新的最大动力。

5. 总结

VAE 用于异常检测的 demo 拖了好久，向各位道歉 ~ 主要是写博客确确实实不能当饭吃，官方也不会打赏啥的，而我只求个点赞，感谢各位的理解与支持。

提前祝各位中秋快乐~

Smileyan
2022.9.6 14:50