自动控制原理7.7---离散系统的数字校正

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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7.离散系统的数字校正

• 线性离散系统的设计方法：模拟化设计和离散化设计；
• 模拟化设计：把控制系统按模拟化进行分析，求出数字部分的等效连续环节，然后按连续系统理论设计校正装置，再将该校正装置数字化；
• 离散化设计(直接数字设计法)：把控制系统按离散化进行分析，求出系统的脉冲传递函数，然后按离散系统理论设计数字控制器；

7.1 数字控制器的脉冲传递函数

设离散系统如下图所示：

其中：$D(z)$为数字控制器的脉冲传递函数，$G(z)$为保持器与被控对象的传递函数，$H(s)$为反馈测量装置的传递函数；

设$H(s)=1$，$G(s)$的$z$变换为$G(z)$，可得系统的闭环脉冲传递函数：
$$\Phi (z)=\frac{D(z)G(z)}{1+D(z)G(z)}=\frac{C(z)}{R(z)}$$
误差脉冲传递函数：
$${\Phi }_e(z)=\frac{1}{1+D(z)G(z)}=\frac{E(z)}{R(z)}$$
可得数字控制器的脉冲传递函数为：
$$D(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z)[1-\Phi (z)]}，D(z)=\frac{1-{\Phi }_e(z)}{G(z){\Phi }_e(z)}，{\Phi }_e(z)=1-\Phi (z)$$

离散系统的数字校正问题：根据对离散系统性能指标的要求，确定闭环脉冲传递函数$\Phi (z)$或误差脉冲传递函数${\Phi }_e(z)$，利用上式确定数字控制器的脉冲传递函数$D(z)$，加以实现；

7.2 最少拍系统设计

最少拍系统：指在典型输入作用下，能以有限拍结束响应过程，且在采样时刻上无稳态误差的离散系统；

常见的典型输入：单位阶跃函数、单位速度函数、单位加速度函数；
$$\begin{array}{rl}& Z\left[1(t)\right]=\frac{z}{z-1}=\frac{1}{1-z^{-1}}，Z\left[t\right]=\frac{Tz}{(z-1{)}^2}=\frac{T{z}^{-1}}{(1-z^{-1}{)}^2}\\ & \\ & Z\left[\frac{1}{2}{t}^2\right]=\frac{T^{2}z(z+1)}{2(z-1{)}^3}=\frac{\frac{1}{2}{T}^2{z}^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1}{)}^3}\end{array}$$

因此，典型输入可表示为一般形式：
$$R(z)=\frac{A(z)}{(1-z^{-1}{)}^m}$$
其中：$A(z)$是不含$(1-z^{-1})$因子的$z^{-1}$多项式。

最少拍系统的设计原则：若系统广义被控对象$G(z)$无延迟且在$z$平面单位圆上及单位圆外无零极点，要求选择闭环脉冲传递函数$\Phi (z)$，使系统在典型输入作用下，经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定所需要的数字控制器的脉冲传递函数$D(z)$；

误差信号$e(t)$的$z$变换为：
$$E(z)={\Phi }_e(z)R(z)=\frac{{\Phi }_e(z)A(z)}{(1-z^{-1}{)}^m}$$
离散系统的稳态误差为：
$$e_{ss}(\infty )=\underset{z\to 1}{\lim }(1-z^{-1})E(z)=\underset{z\to 1}{\lim }(1-z^{-1})\frac{A(z)}{(1-z^{-1}{)}^m}{\Phi }_e(z)$$
使$e_{ss}(\infty )$为零的条件是：${\Phi }_e(z)$中包含$(1-z^{-1}{)}^m$的因子，即：
$${\Phi }_e(z)=(1-z^{-1}{)}^{m}F(z)$$
其中：$F(z)$不含$(1-z^{-1})$因子的多项式，为了$D(z)$简单，阶数最低，取$F(z)=1$。

最少拍系统在不同典型输入作用下，数字控制器脉冲传递函数的确定方法的讨论：

1. 单位阶跃输入

   由$r(t)=1(t)$时有$m=1,A(z)=1$可得：
   $${\Phi }_e(z)=1-z^{-1},\Phi (z)=z^{-1}$$
   可得数字控制器脉冲传递函数：
   $$D(z)=\frac{z^{-1}}{(1-z^{-1})G(z)}，E(z)=\frac{A(z)}{(1-z^{-1}{)}^m}{\Phi }_e(z)=1$$

   $e(0)=1,e(T)=e(2T)=\cdots =0$，可见，最少拍系统经过一拍即可完全跟踪输入$r(t)=1(t)$，这样的离散系统称为一拍系统，$t_s=T$；

   

2. 单位斜坡输入

   由$r(t)=t$时，有$m=2,A(z)=T{z}^{-1}$，可得：
   $${\Phi }_e(z)=(1-z^{-1}{)}^{m}F(z)=(1-z^{-1}{)}^2，\Phi (z)=1-{\Phi }_e(z)=2z^{-1}-z^{-2}$$

   可得：
   $$D(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z){\Phi }_e(z)}=\frac{z^{-1}(2-z^{-1})}{(1-z^{-1}{)}^{2}G(z)}$$
   且：
   $$E(z)=\frac{A(z)}{(1-z^{-1}{)}^m}{\Phi }_e(z)=T{z}^{-1}$$
   $e(0)=0,e(T)=T,e(2T)=e(3T)=\cdots =0$，最少拍系统经过二拍即可完全跟踪输入$r(t)=t$，这样的离散系统称为二拍系统，其调节时间$t_s=2T$；

   

3. 单位加速度输入

   由于$r(t)=t^2/2$时，有$m=3,A(z)=\frac{1}{2}{T}^2{z}^{-1}(1+z^{-1})$，可得：
   $${\Phi }_e(z)=(1-z^{-1}{)}^3，\Phi (z)=3z^{-1}-3z^{-2}+z^{-3}$$

   数字控制脉冲传递函数为：
   $$D(z)=\frac{z^{-1}(3-3z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1}{)}^{3}G(z)}$$
   误差脉冲序列为：
   $$E(z)=A(z)=\frac{1}{2}{T}^2{z}^{-1}+\frac{1}{2}{T}^2{z}^{-2}$$
   输出脉冲序列为：
   $$C(z)=\Phi (z)R(z)=\frac{3}{2}{T}^2{z}^{-2}+\frac{9}{2}{T}^2{z}^{-3}+\cdots +\frac{n^2}{2}{T}^2{z}^{-n}+\cdots +$$
   有：
   $$\begin{array}{rl}& e(0)=0,e(T)=\frac{1}{2}{T}^2,e(2T)=\frac{1}{2}{T}^2,e(3T)=e(4T)=\cdots =0\\ & \\ & c(0)=c(T)=0,c(2T)=1.5T^2,c(3T)=4.5T^2,\dots ,\end{array}$$

   最少拍系统经过三拍即可完全跟踪输入$r(t)=t^2/2$，这样的离散系统称为三拍系统，调节时间为$t_s=3T$；

   

4. 最少拍系统的设计结果

   

   最少拍系统的调节时间，只与所选择的闭环脉冲传递函数$\Phi (z)$的形式有关，与典型输入信号的形式无关；

   实例说明：

   针对单位斜坡输入设计的最少拍系统，可选择：
   $$\Phi (z)=2z^{-1}-z^{-2}$$
   则不论在何种输入形式作用下，系统均具有二拍的调节时间。

   当$r(t)=1(t)$时，
   $$R(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}=1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}+\cdots +$$
   系统输出$z$变换函数：
   $$C(z)=\Phi (z)R(z)=\frac{2z^{-1}-z^{-2}}{1-z^{-1}}=0+2z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}+\cdots +$$
   当$r(t)=t$时，有：
   $$\begin{array}{rl}& R(z)=\frac{T{z}^{-1}}{(1-z^{-1}{)}^2}=0+T{z}^{-1}+2T{z}^{-2}+3T{z}^{-3}+4T{z}^{-4}+\cdots +\\ & \\ & C(z)=\frac{T{z}^{-1}(2z^{-1}-z^{-2})}{(1-z^{-1}{)}^2}=0+0+2T{z}^{-2}+3T{z}^{-3}+4T{z}^{-4}+\cdots +\end{array}$$

   当$r(t)=\frac{1}{2}{t}^2$时，有：
   $$\begin{array}{rl}& R(z)=\frac{T^2{z}^{-1}(1+z^{-1})}{2(1-z^{-1}{)}^3}=0+0.5T^2{z}^{-1}+2T^2{z}^{-2}+4.5T^2{z}^{-3}+8T^2{z}^{-4}+\cdots +\\ & \\ & C(z)=\frac{T^2{z}^{-1}(1+z^{-1})(2z^{-1}-z^{-2})}{2(1-z^{-1}{)}^3}=0+0+T^2{z}^{-2}+3.5T^2{z}^{-3}+7T^2{z}^{-4}+\cdots +\end{array}$$

   小结：

   • 从快速性而言，按单位斜坡输入设计的最少拍系统，在各种典型输入作用下，其动态过程均为二拍；
   • 从准确性而言，系统对单位阶跃输入和单位斜坡输入，在采样时刻均无稳态误差，对单位加速度输入，采样时刻上的稳态误差为常量$T$；
   • 从动态性能而言，系统对单位斜坡输入下的响应性能较好，因为系统本身就是针对此设计的，但系统对单位阶跃输入响应性能较差，有$100\%$的超调量，因此按某种典型输入设计的最少拍系统，适应性较差；
   • 从平稳性而言，在各种典型输入作用下系统进入稳态后，在非采样时刻一般均存在纹波，从而增加系统的机械磨损；

5. 实例分析

   $Example1：$ 设单位反馈线性定常离散系统的连续部分和零阶保持器的传递函数分别为：
   $$G_0(s)=\frac{10}{s(s+1)}，G_h(s)=\frac{1-{\mathrm{e}}^{-sT}}{s}$$
   其中采样周期为$T=1\mathrm{s}$；要求系统在单位斜坡输入时实现最少拍控制，求数字控制器脉冲传递函数$D(z)$。

   解：

   系统开环传递函数：
   $$G(s)=G_0(s)G_h(s)=\frac{10(1-{\mathrm{e}}^{-sT})}{s^2(s+1)}$$
   因为：
   $$Z\left[\frac{1}{s^2(s+1)}\right]=\frac{Tz}{(z-1{)}^2}-\frac{(1-{\mathrm{e}}^{-T})z}{(z-1)(z-{\mathrm{e}}^{-T})}$$
   因此有：
   $$G(z)=10(1-z^{-1})\left[\frac{Tz}{(z-1{)}^2}-\frac{(1-e^{-T})z}{(z-1)(z-e^{-T})}\right]=\frac{3.68z^{-1}(1+0.717z^{-1})}{(1-z^{-1})(1-0.368z^{-1})}$$
   其中，$r(t)=t$，闭环脉冲传递函数和误差脉冲传递函数：
   $$\Phi (z)=2z^{-1}(1-0.5z^{-1})，{\Phi }_e(z)=(1-z^{-1}{)}^2$$
   可得：
   $$D(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z){\Phi }_e(z)}=\frac{0.543(1-0.368z^{-1})(1-0.5z^{-1})}{(1-z^{-1})(1+0.717z^{-1})}$$

7.3 无纹波最少拍系统设计

无纹波最少拍系统的设计要求：在某一种典型输入作用下设计的系统，其输出响应经过尽可能少的采样周期后，不仅在采样时刻输出可以完全跟踪输入，且在非采样时刻不存在纹波；

1. 无纹波最少拍系统的必要条件

   为了在稳态过程中获得无纹波的平滑输出$c^{\ast }(t)$，被控对象$G_0(s)$必须有能力给出与输入$r(t)$相同的平滑输出$c(t)$；

   若针对单位斜坡输入$r(t)=t$设计最少拍系统，则$G_0(s)$的稳态输出也必须是斜坡函数，因此，$G_0(s)$必须至少有一个积分环节，使被控对象在零阶保持器常值输出信号作用下，稳态输出为等速变化量；若针对单位加速度输入$r(t)=t^2/2$设计最少拍系统，则$G_0(s)$至少应包括两个积分环节；

   若输入信号为：
   $$r(t)=R_0+R_{1}t+\frac{1}{2}{t}^2+\cdots +\frac{1}{(q-1)!}{R}_{q-1}{t}^{q-1}$$
   无纹波最少拍系统的必要条件：被控对象传递函数$G_0(s)$中，至少包含$(q-1)$个积分环节；

2. 无纹波最少拍系统的附加条件

   因为：
   $$D(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z){\Phi }_e(z)}$$
   因此：
   $$D(z){\Phi }_e(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z)}$$
   设广义对象脉冲传递函数为：
   $$G(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$$
   其中：$P(z)$为$G(z)$的零点多项式，$Q(z)$为$G(z)$的极点多项式；

   则有：
   $$D(z){\Phi }_e(z)=\frac{\Phi (z)Q(z)}{P(z)}$$
   $D(z){\Phi }_e(z)$成为$z^{-1}$有限多项式的条件是：$\Phi (z)$的零点应抵消$G(z)$的全部零点，即有：
   $$\Phi (z)=P(z)M(z)$$
   其中：$M(z)$为待定$z^{-1}$多项式；上式是无纹波最少拍系统的附加条件。

   小结：

   • 当要求最少拍系统无纹波时，闭环脉冲传递函数$\Phi (s)$除应满足最少拍要求的形式外，其附加条件是$\Phi (z)$还必须包含$G(z)$的全部零点，不论这些零点在$z$平面的何处；
   • 由于最少拍系统设计前提是$G(z)$在单位圆上及单位圆外无零极点，或可被$\Phi (z)$及${\Phi }_e(z)$所补偿，因此附加条件要求的$\Phi (z)$包含$G(z)$在单位圆内的零点数，即是无纹波最少拍系统比有纹波最少拍系统所增加的拍数；

3. 无纹波最少拍系统设计

   $Example2：$ 设单位反馈线性定常离散系统的连续部分和零阶保持器的传递函数分别为：
   $$G_0(s)=\frac{10}{s(s+1)}，G_h(s)=\frac{1-{\mathrm{e}}^{-sT}}{s}$$
   其中采样周期为$T=1\mathrm{s}$；要求系统在单位斜坡输入时实现无纹波最少拍控制，求数字控制器脉冲传递函数$D(z)$。

   解：

   系统开环传递函数：
   $$G(s)=G_0(s)G_h(s)=\frac{10(1-{\mathrm{e}}^{-sT})}{s^2(s+1)}$$
   因为：
   $$Z\left[\frac{1}{s^2(s+1)}\right]=\frac{Tz}{(z-1{)}^2}-\frac{(1-{\mathrm{e}}^{-T})z}{(z-1)(z-{\mathrm{e}}^{-T})}$$
   因此有：
   $$G(z)=10(1-z^{-1})\left[\frac{Tz}{(z-1{)}^2}-\frac{(1-{\mathrm{e}}^{-T})z}{(z-1)(z-{\mathrm{e}}^{-T})}\right]=\frac{3.68z^{-1}(1+0.717z^{-1})}{(1-z^{-1})(1-0.368z^{-1})}$$
   可见，$G(z)$有一个零点$z=-0.717$，有一个延迟因子$z^{-1}$，且在单位圆上有一个极点$z=1$；

   零点补偿，根据无纹波附加条件，$G(z)$中$z=-0.717$零点应被$\Phi (z)$零点对消；因此，令$M(z)=a+b{z}^{-1}$，其中$a、b$待定，选择：
   $$\Phi (z)=z^{-1}(1+0.717z^{-1})(a+b{z}^{-1})$$
   由最少拍条件下，在单位斜坡输入下，
   $${\Phi }_e(z)=(1-z^{-1}{)}^2，\Phi (z)=2z^{-1}(1-0.5z^{-1})$$
   因无纹波时，要求$\Phi (z)$比有纹波时增加一阶，选择：
   $${\Phi }_e(z)=(1-z^{-1}{)}^2(1+c{z}^{-1})$$
   其中：$c$待定；

   可得：
   $$\begin{array}{rl}& 1-{\Phi }_e(z)=(2-c)z^{-1}+(2c-1)z^{-2}-c{z}^{-3}\\ & \\ & \Phi (z)=z^{-1}(1+0.717z^{-1})(a+b{z}^{-1})=a{z}^{-1}+(b+0.717a)z^{-2}+0.717b{z}^{-3}\end{array}$$

   对应系数相等，可得：
   $$a=1.408,b=-0.826,c=0.592$$
   因此：
   $$\Phi (z)=1.408z^{-1}(1+0.717z^{-1})(1-0.587z^{-1})，{\Phi }_e(z)=(1-z^{-1}{)}^2(1+0.592z^{-1})$$

   可得：
   $$D(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z){\Phi }_e(z)}=\frac{0.383(1-0.368z^{-1})(1-0.587z^{-1})}{(1-z^{-1})(1+0.592z^{-1})}$$

7.4 PID数字控制器的实现

$\mathrm{PID}$控制器的传递函数为：
$$D(s)=\frac{U(s)}{X(s)}=K_1+\frac{K_2}{s}+K_{3}s$$
将其中的微分项和积分项进行离散化处理，可以得到$\mathrm{PID}$控制器的数字实现；
u ( k T ) = d x d t ∣ t = k T = 1 T { x ( k T ) − x [ ( k − 1 ) T ] } u(kT)=\left.\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}\right|_{t=kT}=\frac{1}{T}\left\{x(kT)-x[(k-1)T]\right\} u(kT)=dtdx​ ​t=kT​=T1​{x(kT)−x[(k−1)T]}
即：
$$U(z)=\frac{(1-z^{-1})}{T}X(z)=\frac{z-1}{Tz}X(z)\Rightarrow u(kT)=u[(k-1)T]+Tx(kT)$$

即：
$$U(z)=z^{-1}U(z)+TX(z)$$
整理可得：
$$U(z)=\frac{Tz}{z-1}X(z)$$
$\mathrm{PID}$控制器在$z$域的传递函数为：
$$D(z)=\frac{U(z)}{X(z)}=K_1+K_2\frac{Tz}{z-1}+K_3\frac{z-1}{Tz}$$
记$x(kT)=x(k)$，可得$\mathrm{PID}$控制器的差分方程：
$$\begin{array}{rl}u(k)& =K_{1}x(k)+K_2[u(k-1)+Tx(k)]+\frac{K_3}{T}[x(k)-x(k-1)]\\ & \\ & =\left[K_1+K_{2}T+\frac{K_3}{T}\right]x(k)-\frac{K_3}{T}x(k-1)+K_{2}u(k-1)\end{array}$$