剑指offer 丑数（dp、指针）

nowcoder 题目链接
leetcode 题目链接

描述

把只包含质因子 $2$、$3$ 和 $5$ 的数称作丑数（Ugly Number）。例如 $6$、$8$ 都是丑数，但 $14$ 不是，因为它包含质因子 $7$。 习惯上我们把 $1$ 当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第 $n$ 个丑数。

数据范围：$0\le n\le 2000$
要求：空间复杂度 $O(n)$ ， 时间复杂度 $O(n)$

输入：7
返回值：8
//解释: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 是前 10 个丑数。
1
2
3

思路一

直接三叉树暴搜复杂度必然是指数级别，首先想到一个小优化：例如 $12$，在三叉搜索树中会以 $2\ast 2\ast 3$、$2\ast 3\ast 2$、$3\ast 2\ast 2$ 出现三次。可以做个规定，质因子一旦存在 $3$，那么之后只能 $\times 3$ 或 $\times 5$；质因子一旦存在 $5$，那么之后只能 $\times 5$。这样 $12$ 就只会以 $2\ast 2\ast 3$ 的顺序出现一次。

之后的想法是：维护 $3$ 个递增队列，三个队首元素中最小的就是下一个丑数。每 $\text{pop}$ 一个丑数后，在其他队列中 $\text{push}$ 候选数字。（$\text{push}$ 时注意之前的规定）

时空复杂度均为 $O(n)$.

class Solution {
public:
    int GetUglyNumber_Solution(int index) {
        if(index<=1) return index;
        queue<int> q2,q3,q5;
        q2.push(2);
        q3.push(3);
        q5.push(5);
        for(int i=1;i<index-1;i++){
            int mn=min({q2.front(),q3.front(),q5.front()});
            if(mn==q2.front()) q2.push(mn*2),q3.push(mn*3),q5.push(mn*5),q2.pop();
            if(mn==q3.front()) q3.push(mn*3),q5.push(mn*5),q3.pop();
            if(mn==q5.front()) q5.push(mn*5),q5.pop();
        }
        return min({q2.front(),q3.front(),q5.front()});
    }
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

注意： 在牛客网提交时，特判第 $0$ 个丑数为 $0$。

思路二

看了别人的做法，具体参考：牛客题解、力扣题解 。

大概意思是，每个丑数 $\times 2$、$\times 3$、$\times 5$ 后，都会产生更大的丑数。然后维护这三个并行、互不影响的维度，每次取最小的一个，并且更新它。

class Solution {
public:
    int GetUglyNumber_Solution(int index) {
        vector<int> vec(index+10,0);
        int i2=1,i3=1,i5=1;
        vec[1]=1;
        for(int i=2;i<=index;i++){
            vec[i]=min({vec[i2]*2,vec[i3]*3,vec[i5]*5});
            if(vec[i]==vec[i2]*2) i2++;
            if(vec[i]==vec[i3]*3) i3++;
            if(vec[i]==vec[i5]*5) i5++;
        }
        return vec[index];
    }
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

可以关注一些小细节它是如何解决的，比如我前面提到的那种情况：$2\ast 3$ 和 $3\ast 2$。在上面的代码中，会同时触发这两行：

	if(vec[i]==vec[i2]*2) i2++;
	if(vec[i]==vec[i3]*3) i3++;
1
2

但并不影响它的 $O(1)$ 复杂度。

其他

今天看别人代码，发现一个新奇的东西：

int main(){
	//...
	return 0 ^ 0;
}
1
2
3
4

! 0 !