信息学奥赛一本通 连接格点

有一个 m 行 n 列的点阵，相邻两点可以相连。

一条纵向的连线花费一个单位，一条横向的连线花费两个单位。

某些点之间已经有连线了，试问至少还需要花费多少个单位才能使所有的点全部连通。

输入格式

第一行输入两个正整数 mm 和 nn。

以下若干行每行四个正整数 x1,y1,x2,y2，表示第 x1 行第 y1 列的点和第 x2 行第 y2 列的点已经有连线。

输入保证|x1−x2|+|y1−y2|=1。

输出格式

输出使得连通所有点还需要的最小花费。

数据范围

1≤m,n≤1000
0≤已经存在的连线数≤100000

输入样例：

2 2
1 1 2 1

输出样例：

3

因为所有边权都是正树所以这是一个求最小生成数的题目：

一个坐标包括他的四个方向的边数为n * (m - 1) + m * (n - 1) = 2 * m * n - (m + 1)若使用普通的Kruskal算法容易超时，而因为Kruskal算法的瓶颈在排序上且题目的边权只有1和2，所以我们建图可以先把权值为1的边先建好再把权值为2的边建好，可以省去排序

最后的时间复杂度为O(2 * N * N);

这里一个小技巧可以建立一个数组idx[i][j]将坐标(i, j)转化为一维坐标idx[i][j]

#include 
#include 
#include 
 
using namespace std;
 
const int N = 1010, M = 2 * N * N, P = N * N;//P为将二维坐标转化为一维坐标的点数
 
int cnt;
int n, m;
int p[P];
int idx[N][N];//将二维坐标转化为一维坐标
int s1, s2, e1, e2;
struct Edge
{
    int a, b, w;
}edges[M];
int dx[4] = {-1, 0, 1, 0};//四个方向
int dy[4] = {0, 1, 0, -1};
int dw[4] = {1, 2, 1, 2};//四个方向上右下左的权重
 
int find(int x)//并查集模板
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}
 
void get_edges()
{
    for (int z = 0; z < 2; z ++ )//选择建立竖边还是横边
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= m; j ++ )
                for (int u = 0; u < 4; u ++ )
                    if (u % 2 == z)//先建立竖边即u % 2 == 0的边，根据上右下左竖边为下标为0, 2
                    {
                        int x = i + dx[u], y = j + dy[u], w = dw[u];//选择u这个方向
                        if (x < 1 || x > n || y < 1 || y > m) continue;//判断边界
                        int a = idx[i][j], b = idx[x][y];//将二维转化为一维
                        if (a < b) edges[cnt ++ ] = {a, b, w};//防止加入双向边
                    }
}
 
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1, t = 1; i <= n; i ++ )//将二维转化为一维初始化
        for (int j = 1; j <= m; j ++, t ++ )
            idx[i][j] = t;
    
    for (int i = 1; i <= n * m; i ++ ) p[i] = i;//初始化
    
    while (cin >> s1 >> e1 >> s2 >> e2)//必需加入的边
    {
        int a = idx[s1][e1], b = idx[s2][e2];
        p[find(a)] = find(b);
    }
    
    get_edges();
    
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < cnt; i ++ )//Kruskal模板
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)
        {
            res += w;
            p[a] = b;
        }
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}