概率论的学习和整理--番外11：10球里8红球2白球，抽俩次抽中白球的概率是多少呢? 一个例题的不同方法

0 原题 ：

10球8红球俩白球，抽俩次抽中白球的概率是多少呢?  (抽球默认意思，一般是不放回)

网上的很多答案都是错的

https://www.yulucn.com/question/286162606

10球8红球俩白球.抽俩次抽中白球的概率是多少呢? - 雨露学习互助

 

1 原题

10球里8红球2白球 ，抽俩次抽中白球的概率是多少呢?

  (抽球默认意思，一般是不放回)

1.1 按古典概型的方法

模型是否适用？ 适用古典概型，因为每次抽球所有的球之间都是平均平等的抽取，符合等概率

计算方法

p(x=2)=c(2,1)/c(10,1) * c(1,1)/c(9,1) =2/10*1/9=1/45

对比错误方法 （感觉是用二项分布的概率，来当成等概率模型的组合数来算，错误！）

这种就错误错的很离谱

因为一般，概率的计算，都是加法原理，或乘法原理，很少看到概率相除的

只有古典概型，算组合数的适合，用组合数相除来算概率

p(x=2)=(1/2) /  (1/10)  *1 / (1/9) =10/2*9  

这种是典型的混乱计算，计算古典概型，一般用排列组合计算事件数量进而算概率，这里却用概率去算，不伦不类的算法

 

1.2 用概率分布来算

• 模型是否适用？ 
• 如果是不放回抽样，不适合伯努利试验
• 首先只1次的0-1分布，只看最后1次的几何分布都不合适的
• 其次，二项分布需要是N重伯努利试验了，
• 所以，不放回试验比较适合的是超几何分布
• p(x=2)=c(2,2)*c(8,0) / c(10,2) =1*1/(10*9/2)=1/45

2 改题目为，抽到1个白球

10球里8红球2白球 ，抽俩次抽中1个白球的概率是多少呢?

2.1 按古典概型的方法

因为如果是1个白球，分2种情况相加

情况1是第1次白第2次黑，情况2是第1次黑第2次白

p(x=1)=c(2,1)/c(10,1) * c(8,1)/c(9,1) + c(8,1)/c(10,1) * c(2,1)/c(9,1)=16/90+16/90=16/45

2.2 用概率分布来算

不放回试验比较适合的是超几何分布

p(x=1)=c(2,1)*c(8,1) / c(10,2) =2*8/(10*9/2)=32/90=16/45

3 改题目为 :至少1个白球

10球里8红球2白球 ，抽俩次抽中至少1个白球的概率是多少呢?

3.1 按古典概型的方法

• 因为如果是1个白球，分2种情况相加
• 情况1是第1次白第2次黑，情况2是第1次黑第2次白
• p(x=1)=c(2,1)/c(10,1) * c(8,1)/c(9,1) + c(8,1)/c(10,1) * c(2,1)/c(9,1)=16/90+16/90=16/45
• 因为是至少1个白球，还要算2个白球情况
• p(x=2)=c(2,1)/c(10,1) * c(1,1)/c(9,1) =2/10*1/9=1/45
• 算起来，至少1个白球的概率
• p(x>=1)=p(x=1)+p(x=2)=17/45

3.2 还有一种算法

• 就是至少为1的对立事件（通俗说法就是反面情况）是，1个白球都没有
• p(x=0)=c(8,1)/c(10,1) * c(7,1)/c(9,1) =8/10*7/9=28/45
• p(x>=1)=1-p(x=0)=1-28/45=17/45

验证：

• 17 /45= 1/45 + 16/45  也侧面说明的之前计算是对的
• p(x>=1)=p(x=1)+p(x=2)

3.3 用概率分布来算

• 不放回试验比较适合的是超几何分布
• p(x=1)=c(2,1)*c(8,1) / c(10,2) =2*8/(10*9/2)=32/90=16/45
• p(x=2)=c(2,2)*c(8,0) / c(10,2) =1*1/(10*9/2)=32/90=1/45
• p(x>=1)=p(x=1)+p(x=2)=17/45

用对立事件的计算思路

• p(x=0)=c(2,0)*c(8,2) / c(10,2) =1*(8*7/2) /(10*9/2)=8*7/10*9=28/45
• p(x>=1)=1-p(x=0)=17/45

4 改题目：如果是放回呢？

10球里8红球2白球 ，抽俩次抽中白球的概率是多少呢? 每次抽球后都放回

4.1 按古典概型的方法

模型是否适用？ 适用古典概型，因为每次抽球所有的球之间都是平均平等的抽取，符合等概率

计算方法

因为放回，每次算组合数的适合，注意的分母都是10，注意！

p(x=2)=c(2,1)/c(10,1) * c(2,1)/c(10,1) =2/10*2/10=1/25

 

4.2 用概率分布来算

放回试验因为每次都是相同的试验，概率稳定不变，就可以是二项分布

二项分布因为放回，每次的分母都是10，注意！

p(x=2)=c(2,2)*2/10*2/10=1/25

5 改题目为，抽到1个白球

10球里8红球2白球 ，抽俩次抽中1个白球的概率是多少呢? 每次抽球后都放回

5.1 按古典概型的方法

因为如果是1个白球，分2种情况相加

情况1是第1次白第2次黑，情况2是第1次黑第2次白

p(x=1)=c(2,1)/c(10,1) * c(8,1)/c(10,1) + c(8,1)/c(10,1) * c(2,1)/c(10,1)=32/100=8/25

5.2 用概率分布来算

放回试验因为每次都是相同的试验，概率稳定不变，就可以是二项分布

p(x=1)=c(2,1)*(2/10)^1*(8/10)^1= 2*2/10*8/10=8/25

6 例题2：改题目为 :至少1个白球

10球里8红球2白球 ，抽俩次抽中至少1个白球的概率是多少呢? 每次抽球后都放回

6.1 按古典概型的方法

• 因为如果是1个白球，分2种情况相加
• 情况1是第1次白第2次黑，情况2是第1次黑第2次白
• p(x=1)=c(2,1)/c(10,1) * c(8,1)/c(10,1) + c(8,1)/c(10,1) * c(2,1)/c(10,1)=32/100=8/25
• 因为是至少1个白球，还要算2个白球情况
• p(x=2)=c(2,1)/c(10,1) * c(2,1)/c(10,1) =2/10*2/10=1/25
• 算起来，至少1个白球的概率
• p(x>=1)=p(x=1)+p(x=2)=9/25

6.2 还有一种算法

• 就是至少为1的对立事件（通俗说法就是反面情况）是，1个白球都没有
• p(x=0)=c(8,1)/c(10,1) * c(8,1)/c(10,1) =8/10*8/10=64/100=16/25
• p(x>=1)=1-p(x=0)=1-16/25=9/25

6.3 用概率分布来算

• 放回试验因为每次都是相同的试验，概率稳定不变，就可以是二项分布
• p(x=2)=c(2,2)*(2/10)^2*(8/10)^0= 1*1*2/10*2/10=4/100=1/25
• p(x=1)=c(2,1)*(2/10)^1*(8/10)^1= 2*2/10*8/10=8/25
• p(x>=1)=p(x=1)+p(x=2)=1/25+8/25=9/25

按对立事件的思路

• p(x=0)=c(2,0)*(2/10)^0*(8/10)^2= 1*1*8/10*8/10=64/100=16/25
• p(x>=1)=1-p(x=0)=1-16/25= 9/25
• 验算符合