高数_第3章_重积分_习题

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题1

设f(x, y) 为连续函数， 则由平面z = 0, 柱面 x² + y² = 1 和 曲面 z=f²(x, y) 所围的立体的体积可

用二重积分表示为____________________

分析： 本题涉及的函数未具体指明，要解答需要有一定解题技巧， 需要有技巧， 根据题意明确是求二重积分， 根据定义，二重积分一般用于求曲顶柱体的体积。

所以可以确定f(x, y) 表示曲顶函数。

解： 因为 z ≥ 0, 将要求的立体看作 曲顶柱体。

曲顶为z = f²(x, y) , 底为xOy 坐标面上的区域D:

x² + y² ≤1, 则该曲顶柱体 的体积为 $\underset{\Omega }{\iiint }$ f²(x, y)dxdy.

所以______应填写

​ $\underset{x^2+y^2\le 1}{\iiint }$ f²(x, y)dxdy.

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题2

计算二重积分$I=\underset{D}{\iint }\frac{siny}{y}dxdy$, 其中 D是由$y^2=x$ 及 $y=x$所围成的闭区域。
分析： 题目有一定难度，我们要了解哪些积分是无法直接求出的， 要学会换种思路，这题我们要看成Y型区域。
解：积分区域D如图3-86所示， 看成Y型区域

$I={\int }_0^{1}dy{\int }_{y^2}^y\frac{siny}{y}dx$

= ${\int }_0^1(y-y^2)\frac{siny}{y}dy$

=${\int }_0^1(1-y)siny$

=$(-cosy+ycosy-siny){|}_0^1$

=1-sin1

注意：

此题若改为X型区域，则因$\int \frac{siny}{y}dy$的原函数无法求出， 所以这样在X型区域下二次积分无法进行计算。