高数_第3章重积分_三重积分的奇偶性

当积分区域 Ω 关于坐标面对称，  被积函数 f(x, y, z) 具有奇偶性时， 利用这些特点可以简化三重积分的计算， 这样的简算也称为对称奇偶性。

一.  假设 Ω 关于Oxy平面对称， Oxy平面将 Ω 对称地分为 和两部分。

   （1）如果f(x, y, z) 关于z是奇函数，  即总存在 f(x, y, -z) =  -f(x, y, z)

      则  

  （2） 如果 f（x, y, z）关于z是偶函数， 即总存在 f(x,  y,  -z) = f(x,  y,  z),  则

 二.  假设 Ω 关于Oxz平面对称， Oxz平面将 Ω 对称地分为 和  两部分。

 

   （1）如果f(x, y, z) 关于y是奇函数，  即总存在 f(x, -y, z) =   -f(x, y, z)

      则  

  （2） 如果 f（x, y, z）关于y是偶函数， 即总存在 f(x,  -y,  z)  =  f(x,  y,  z),  则

 

  三.  假设 Ω 关于Oyz平面对称， Oxz平面将 Ω 对称地分为和 两部分。 

   （1）如果f(x, y, z) 关于x是奇函数，  即总存在 f(-x, y,  z) =   -f(x, y, z)

      则  

  （2） 如果 f（x, y, z）关于 x 是偶函数， 即总存在 f(-x,  y,  z)  =  f(x,  y,  z),  则

 

 

四.  结论：  在重积分中，讨论被积函数f 的奇偶性，不是看函数 f是否关于直角坐标的原点
（或y轴）对称， 这不是我们分析的方向 。 绝不能用一元函数判断奇偶性的老方法！！

正确方法： 

1 先判断积分区域 关于哪个坐标面对称，

2  然后再将f中的x 代替为-x,  或者是y代替为-y,   或者是z 代替为-z. 

3. 再看f(-x, y, z)  或者f(x, -y, z) 或者f(x, y, -z)与哪个函数相等。

 

简要地说： 先看积分区域， 再将变量替换为相反值， 再看结果。

三重积分的奇偶性判断， 我们必须理解，  必须掌握！

 

看几个例题

例1：简算三重积分 

 解： 积分区域 Ω 是一个旋转抛物面，关于yOz坐标面对称，  因此可以判断 被积函数的奇偶性，

被积函数 f(x, y, z) =  zsinxsiny² 关于变量x是奇函数. f(-x,  y,  z) = -f(x, y, z).   所以原积分