自动控制原理3.5---线性系统的稳定性分析

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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1.稳定性的基本概念

• 稳定性：指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能；
• 大范围稳定的系统：假设系统具有一个平衡工作状态，如果系统受到有界扰动作用偏离了原平衡状态，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统；
• 小范围稳定的系统：如果系统受到有界扰动作用后，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，则这样的系统称为小范围稳定的系统；
• 对于稳定的线性系统，必然在大范围内和小范围内都能稳定；只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况；
• 李雅普诺夫稳定性理论的线性控制系统稳定性叙述：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零(原平衡工作点)，则称系统渐近稳定，若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定；

2.线性系统稳定的充分必要条件及劳斯-赫尔维茨稳定判据

• 线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，与外界条件无关；
• 线性系统稳定的充要条件：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均位于$s$平面的左半平面；

2.1 赫尔维茨稳定判据

设线性系统的特征方程为：
$$D(s)=a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n=0$$
使线性系统稳定的必要条件：在上式特征方程中各项系数为正数；

赫尔维茨稳定判据，线性系统稳定的充要条件：由系统特征方程各项系数所构成的主行列式及其顺序主子式${\Delta }_i(i=1,2,\dots ,n-1)$全部为正；

主行列式：
∣ a 1 a 3 a 5 … 0 0 a 0 a 2 a 4 … 0 0 0 a 1 a 3 … 0 0 0 a 0 a 2 … 0 0 0 0 a 1 … 0 0 0 0 a 0 … 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 … a n 0 0 0 0 … a n − 1 0 0 0 0 … a n − 2 a n ∣

​a1​a0​0000⋮000​a3​a2​a1​a0​00⋮000​a5​a4​a3​a2​a1​a0​⋮000​………………………​000000⋮an​an−1​an−2​​000000⋮00an​​ ​
顺序主子式：
Δ 1 = a 1 > 0 , Δ 2 = ∣ a 1 a 3 a 0 a 2 ∣ > 0 ， Δ 3 = ∣ a 1 a 3 a 5 a 0 a 2 a 4 0 a 1 a 3 ∣ > 0 ， … ， Δ n > 0 \Delta_1=a_1>0,\Delta_2=

|a1a3a0a2|" role="presentation" style="position: relative;">∣∣∣a1a0a3a2∣∣∣$$\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_3\\ a_0& a_2\end{array}\right|$$

>0，\Delta_3=

|a1a3a5a0a2a40a1a3|" role="presentation" style="position: relative;">∣∣∣∣a1a00a3a2a1a5a4a3∣∣∣∣$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_3& a_5\\ a_0& a_2& a_4\\ 0& a_1& a_3\end{array}\right|$$

>0，\dots，\Delta_n>0 Δ1​=a1​>0,Δ2​= ​a1​a0​​a3​a2​​ ​>0，Δ3​= ​a1​a0​0​a3​a2​a1​​a5​a4​a3​​ ​>0，…，Δn​>0
$n\le 4$的线性系统，稳定的充要条件简单形式如下：

• $n=2$：特征方程的各项系数为正；
• $n=3$：特征方程的各项系数为正，且$a_1{a}_2-a_0{a}_3>0$；
• $n=4$：特征方程的各项系数为正，且${\Delta }_2=a_1{a}_2-a_0{a}_3>0$，及${\Delta }_2>a_1^2{a}_4/a_3$；

李纳德-戚帕特稳定判据：在特征方程的所有系数为正的条件下，若所有奇次顺序赫尔维茨行列式为正，则所有偶次顺序赫尔维茨行列式亦必为正；

实例分析：

$Example1$： 设某单位反馈系统的开环传递函数为：
$$G(s)=\frac{K(s+1)}{s(Ts+1)(2s+1)}$$
试用赫尔维茨稳定判据确定使闭环系统稳定的$K、T$的取值范围。

解：

由题意可得，闭环系统特征方程为：$D(s)=2T{s}^3+(2+T)s^2+(1+K)s+K=0$；

要求特征方程各项系数为正，则有：$2T>0，2+T>0，1+K>0，K>0$；

可得：$T>0，K>0$；

要求${\Delta }_2>0$，可得：
$$T<\frac{2(K+1)}{K-1}，K<\frac{T+2}{T-2}$$
使闭环系统稳定的$K、T$取值范围：
{ K > 0 ， 0 < T ≤ 2 0 < K < T + 2 T − 2 ， T > 2 或 { T > 0 ， 0 < K ≤ 1 0 < T < 2 ( K + 1 ) K − 1 ， K > 1 \left\{

\right. 或 \left\{ \right. ⎩ ⎨ ⎧​K>0，0<T≤20<K<T−2T+2​，T>2​或⎩ ⎨ ⎧​T>0，0<K≤10<T<K−12(K+1)​，K>1​

2.2 劳斯稳定判据

劳斯表：

劳斯稳定判据：线性系统稳定的充要条件：劳斯表中第一列各值为正；如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统就不稳定，且第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的数目。

实例分析：

$Example2：$ 设系统特征方程为：
$$s^4+2s^3+3s^2+4s+5=0$$
试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。

解：

该系统的劳斯表为：

由于劳斯表的第一列系数有两次变号，因此该系统不稳定，且有两个正实部根。

2.3 劳斯稳定判据的特殊情况

1. 劳斯表中某行的第一列项为零，其余各项不为零，或不全为零。

   例如：特征方程为：$D(s)=s^3-3s+2=0$；

   劳斯表为：

   $s^3$	$1$	$-3$
   $s^2$	$0$	$2$
   $s^1$	$\infty$

   解决方案：用因子$(s+a)$乘以原特征方程，$a$为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据；如：用$(s+3)$乘以原特征方程，得新特征方程：$D(s)=s^4+3s^3-3s^2-7s+6=0$；

   劳斯表为：

   $s^4$	$1$	$-3$	$6$
   $s^3$	$3$	$-7$	$0$
   $s^2$	$-2/3$	$6$	$0$
   $s^1$	$20$	$0$	$0$
   $s^0$	$6$

   由上劳斯表可知，第一列符号变化两次，系统不稳定，且有两个正实部根；

2. 劳斯表中出现全零行。

   出现全零行表明特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异得特征根；如：两个大小相等但符号相反的实根或一对共轭纯虚根，或对称于实轴的两对共轭复根；

   解决方案：当劳斯表中出现全零行时，可用全零行上面一行的系数构造一个辅助方程$F(s)=0$，将辅助方程对复变量$s$求导，用所得导数方程的系数取代全零行的元，按劳斯稳定判据要求继续运算。

   实例分析：

   $Example3：$ 已知系统特征方程为：$D(s)=s^6+s^5-2s^4-3s^3-7s^2-4s-4=0$；

   试用劳斯稳定判据分析系统的稳定性。

   解：

   劳斯表：

   $s^6$	$1$	$-2$	$-7$	$-4$
   $s^5$	$1$	$-3$	$-4$
   $s^4$	$1$	$-3$	$-4$	$(辅助方程F(s)=0系数)$
   $s^3$	$0$	$0$	$0$

   用$s^4$行系数构造辅助方程：$F(s)=s^4-3s^2-4=0$；

   取辅助方程对变量$s$的导数，得导数方程：
   $$\frac{\mathrm{d}F(s)}{\mathrm{d}s}=4s^3-6s=0$$
   用导数方程的系数取代全零行相应的元，有劳斯表：

   $s^6$	$1$	$-2$	$-7$	$-4$
   $s^5$	$1$	$-3$	$-4$	$0$
   $s^4$	$1$	$-3$	-4
   $s^3$	$4$	$-6$	$0(\mathrm{d}F(s)/\mathrm{d}s=0系数)$
   $s^2$	$-1.5$	$-4$
   $s^1$	$-16.7$	$0$
   $s^0$	$-4$

   劳斯表第一列数值有一次符号变化，系统不稳定，且有一个正实部根；

2.4 劳斯稳定判据的应用

劳斯判据不能表明系统特征根在$s$平面上相对于虚轴的距离；为了使稳定的系统具有良好的动态响应，则在$s$左半平面上系统特征根的位置与虚轴之间有一定的距离；可在$s$左边平面上作一条$s=-a$的垂线，$a$是系统的特征根位置与虚轴之间的最小给定距离，称为给定稳定裕度，然后用新变量$s_1=s+a$代入原系统特征方程，得到一个以$s_1$为变量的新特征方程，对新特征方程应用劳斯稳定判据，可以判别系统的特征根是否全部位于$s=-a$垂线之左；应用劳斯稳定判据还可以确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响，即确定一个或两个使系统稳定，或使系统特征根全部位于$s=-a$垂线之左的参数取值范围。

实例分析：

$Example4：$ 设比例-积分($\mathrm{PI}$)控制系统如下图所示，其中：$K_1$为与积分器时间常数有关的待定参数；已知参数$\zeta =0.2，{\omega }_n=86.6$，试用劳斯稳定判据确定使闭环系统稳定的$K_1$的取值范围；如果要求闭环系统的极点全部位于$s=-1$的垂线之左，问$K_1$的取值范围又是多大？

解：

由控制系统结构图可得，系统的闭环传递函数：
$$\Phi (s)=\frac{{\omega }_n^2(s+K_1)}{s^3+2\zeta {\omega }_n{s}^2+{\omega }_n^{2}s+K_1{\omega }_n^2}$$
特征方程为：
$$D(s)=s^3+2\zeta {\omega }_n{s}^2+{\omega }_n^{2}s+K_1{\omega }_n^2=0$$
因$\zeta =0.2,{\omega }_n=86.6$，得：
$$D(s)=s^3+34.6s^2+7500s+7500K_1=0$$
劳斯表为：

根据劳斯稳定判据，令劳斯表第一列各元为正，则$K_1$取值范围：$0<K_1<34.6$；

当要求闭环极点全部位于$s=-1$垂线之左，令$s=s_1-1$，代入原特征方程，可得新特征方程：
$$(s_1-1{)}^3+34.6(s_1-1{)}^2+7500(s_1-1)+7500K_1=0$$
化简可得：
$$s_1^3+31.6s_1^2+7433.8s_1+(7500K_1-7466.4)=0$$
可得新的劳斯表为：

令劳斯表中第一列各元为正，使得全部闭环极点位于$s=-1$垂线之左的$K_1$取值范围：$1<K_1<32.3$；