计算机组成原理知识总结（二）运算方法和运算器

系列文章目录

计算机组成原理知识总结（一）计算机概论

运算方法和运算器

系列文章目录
2.1 数据与文字的表示方法
2.2 定点加法、减法运算
2.3 定点乘法运算
2.4 定点除法运算
2.5 定点运算器的组成
2.6 浮点运算方法和浮点运算器
总结

2.1 数据与文字的表示方法

2.1.1 数据格式

分为定点格式和浮点格式

定点格式

因为不用考虑小数点，所以只能表示纯小数和纯整数

在这里插入图片描述
纯小数小数点在 $x_n$ 和 $x_{n-1}$ 之间，纯整数在 $x_0$ 右边。
小数的范围为： $0≤|x|≤1-2^{-n}$
整数的范围为： $0≤|x|≤2^{n}-1$

浮点格式

浮点是有效数字和数的范围分开存储，比如0.9-e3，0.9在一个地方3又在一个地方，这样做的好处是可以存储足够大的数字。
十进制 $N = 10^E.M$
二进制 $N = 2^e.M$
$M$ 是尾数，就是纯小数，E是浮点数的指数，是纯整数

十进制数串表示方法

字符串形式
压缩的十进制数串形式，用16进制表示一个数字。

2.1.2 数的机器码表示

由于在机器中涉及数字的运算，还需要考虑到数字的正负符号，所以就衍生出机器码来方便运算。一般叫我们平常看见的数字叫做真值，在机器里方便运算的叫做机器码。

原码表示法

同号相加方便，减法比较难，引出了补码。

$[x]_原=$

{\begin{cases} x, & 2^{n} > x ⩾ 0 \\ 2^{n} - x = 2^{n} + | x | & 0 ⩾ x > - 2^{n} \end{cases}

[x]_{原} = {x, 2^{n} - x = 2^{n} + ∣ x ∣ 2^{n} > x ⩾ 0 0 ⩾ x > - 2^{n}

补码表示法

负数用补码表示的时候，可以将减法转换为加法。又因为求负数的补码还是要做减法，所以又引出了反码。
$[x]_补=$

{\begin{cases} x, & 2^{n} > x ⩾ 0 \\ 2^{n + 1} + x = 2^{n + 1} - | x | & 0 ⩾ x > - 2^{n} \end{cases}

[x]_{补} = {x, 2^{n + 1} + x = 2^{n + 1} - ∣ x ∣ 2^{n} > x ⩾ 0 0 ⩾ x > - 2^{n}

补码和真实值的关系

$x]_补=x_nx_{n-1}x_{n-2}...x_1x_0$
$-2^nx_n + \sum_{i=0}^{n-1}2^ix_i$

规则就是，如果是正整数，那么三码都是一样的，如果是负整数，符号位1不变，反码就是原码每个二进制取反，补码就是反码最低位+1。

$[x]_原 = \bold{0}1111010 \ \ \ \ \ \ [x]_原 = \bold{1}1111010$
$[x]_反 = \bold{0}1111010 \ \ \ \ \ \ [x]_反 = \bold{1}0000101$
$[x]_补 = \bold{0}1111010 \ \ \ \ \ \ [x]_补 = \bold{1}0000110$

移码表示法

通常用于表示浮点数的阶码 $E$ ，在机器中表示一个浮点数时需要给出指数，这个指数用整数形式表示，这个整数叫做阶码，阶码指明了小数点在数据中的位置。
阶码有k位数，假定定点整数移码形式为 $e_ke_{k-1}e_{k-2}...e_2e_1e_0$ （最高位为符号位），移码的传统定义是
$[e]_移 = 2^k+e, 2^k>e\geqslant-2^k$
主要是比较大小或者阶操作

利用二进制数，比较十进制数21和-21的大小
答：
x=21，对应的二进制数为+10101，【x】补=0,10101
x=-21，对应的二进制数为-10101,【x】补=1,01011
如果按照补码进行比较，则101011 > 010101，答案错误
x=10101 加上2的5次方 10101+100000=110101
x=-10101加上2的5次方 -10101+100000=001011
所以 110101>001011
移码: [x]移=2的n次方 + x
例如：
x=10100 则在【x】移=25+ x=100000+10100=1,10100
x=-10100 则在【x】移=25+ x=100000-10100=0,01100
同一个真值的移码和补码仅相差一个符号位
x=-10100 则在【x】补=1,01100 【x】移=0,01100

移码就是补码符号取反就可以了。

浮点数的机器表示

IEEE754标准中的格式表示浮点数。

请添加图片描述
S是浮点数的符号位。M是尾数，小数点位置放在尾数域最左有效位的右边。E是阶码。一个规格化的32位浮点数x的真值表示为
$x=(-1)^S*(1.M)*2^{E-127}$

2.1.3 字符与字符串的表示方法

除了数字外，还有文字语言、英文字母、标点符号等等。ASCII编码。

2.1.4 汉字的输入编码

汉字的输入编码

数字编码
拼音码
字形编码-五笔

汉字内码

用于汉字信息的存储、交换、检索等操作的机内代码，一般采用2字节表示。

汉字字模码

表示汉字字形代码，是汉字的输出形式。

2.1.5 校验码

发送发会在每个字添加一些校验位，用来确定字中出现错误的位置。检错码，奇校验或偶校验。

2.2 定点加法、减法运算

2.2.1 补码加法

$x]_补+[y]_补=[x+y]_补\ \ \ (mod\ 2^{n+1})$

2.2.2 补码减法

$x-y]_补 = [x]_补-[y]_补=[x]_补+[-y]_补\ \ \ (mod\ 2^{n+1})$

2.2.3 溢出概念与检测方法

定点整数机器中，数有一个范围，如果运算超出范围，就叫“溢出”。
检测方式

变形补码
单符号位法

2.2.4 基本的二进制加法/减法器

在这里插入图片描述

2.3 定点乘法运算

人工算法与机器算法的同异性

定点计算中，两个原码表示的相乘的运算规则是：乘积的符号位由两数的符号位按异或运算得到，而乘积的数值部分则是两个正数相乘之积。
但是机器按着人工算法太慢了，得改进。

不带符号的阵列乘法器

在这里插入图片描述

带符号的列阵乘法器

在这里插入图片描述

2.4 定点除法运算

2.4.1 原码除法算法原理

两原码表示的数相除，商的符号由两数的符号按位相加求得，商的数值部分由两数的数值部分相除求得。

2.4.2 并行除法器

可控加法/减法（CAS）单元

在这里插入图片描述

加减交替的阵列除法器

在这里插入图片描述

2.5 定点运算器的组成

2.5.1 逻辑运算

逻辑非运算

求发，按位求它的反

逻辑加运算

按位求它们的“或”，逻辑或

逻辑乘运算

按位求它们的“与”，逻辑与

逻辑异运算

按位求它们的模2和，按位加

2.5.2 多功能算术/逻辑运算单元

基本思想

在这里插入图片描述

逻辑表达式

$S_0、S_1、S_2、S_3$ 分别控制输入 $A_i、B_i$ ，产生 $Y_i$ 和 $X_i$ 。
$X_i=\bar{S_2}\bar{S_3}+\bar{S_2}S_3(\bar{A_i}+\bar{B_i})+S_2\bar{S_3}(\bar{A_i}+B_i)+S_2S_3\bar{A_i}$
$Y_i=\bar{S_0}\bar{S_1}\bar{A_i}+\bar{S_0}S_1\bar{A_i}B_i+S_0\bar{S_1}\bar{A_i}\bar{B_i}$

带一下

$X_i=\overline{S_3A_iB_i+S_2A_i\bar{B_i}}$
$Y_i=\overline{A_i+B_0B_i+S_i\bar{B_i}}$
$F_i=Y_i\bigoplus X_i\bigoplus C_{n+i}$
$C_{n+i+1}=Y_i+X_iC_{n+i}$