自动控制原理2.2---控制系统的复数域数学模型

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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1.传递函数定义及性质

1. 控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应；

2. 用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时，可以得到控制系统在复数域中的数学模型——传递函数；传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响；

3. 传递函数定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比；

   设线性定常系统由下述$n$阶线性常微分方程描述：
   $$\begin{array}{rl}& a_0\frac{d^n}{d{t}^n}c(t)+a_1\frac{d^{n-1}}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_{n-1}\frac{d}{dt}c(t)+a_{n}c(t)\\ =& b_0\frac{d^m}{d{t}^m}r(t)+b_1\frac{d^{m-1}}{d{t}^{m-1}}+\cdots +b_{m-1}\frac{d}{dt}r(t)+b_{m}r(t)\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
   参数说明：

   • $c(t)$：系统输出量；
   • $r(t)$：系统输入量；
   • $a_i(i=1,2,\dots ,n)、b_j(j=1,2,\dots ,m)$：与系统结构和参数有关的常系数；

   传递函数定义式：

   设$r(t)、c(t)$及其各阶导数在$t=0$时的值均为零，即零初始条件，对上式各项进行拉氏变换，则有
   $$[a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n]C(s)=[b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\cdots +b_{m-1}s+b_m]R(s)\text{\hspace{1em}(2)}$$
   系统传递函数如下：
   $$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\cdots +b_{m-1}s+b_m}{a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n}\text{\hspace{1em}(3)}$$

4. 传递函数性质：

   1. 传递函数是复变量$s$的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质；$m\le n$，且所有系数均为实数；
   2. 传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息；
   3. 传递函数和微分方程具有相同性；在零初始条件下，将微分方程的算符$d/dt$用复数$s$置换得到传递函数；将传递函数多项式的变量$s$用算符$d/dt$置换得到微分方程；
   4. 传递函数$G(s)$的拉氏变换是脉冲响应$g(t)$；
   5. 零初始条件Tips：
      • 指输入量是在t≥0时才作用于系统，因此，在$t=0^{-}$时，输入量及其各阶导数均为零；
      • 指输入量加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即输出量及其各阶导数在$t=0^{-}$时的值均为零；

5. 传递函数实例

   Example1： 求如下RLC无源网络的传递函数$U_o(s)/U_i(s)$；
   解：

   已知RLC网络微分方程
   $$LC\frac{d^2{u}_o(t)}{d{t}^2}+RC\frac{d{u}_o(t)}{dt}+u_o(t)=u_i(t)\text{\hspace{1em}(1)}$$
   在零初始条件下，对式(1)各项进行拉氏变换
   $$[LC{s}^2+RCs+1]U_o(s)=U_i(S)\text{\hspace{1em}(2)}$$
   可得传递函数
   $$G(s)=\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\frac{1}{LC{s}^2+RCs+1}\text{\hspace{1em}(3)}$$

2.传递函数的零点和极点

常用于根轨迹法的传递函数形式：
$$G(s)=\frac{b_0(s-z_1)(s-z_2)\dots (s-z_m)}{a_0(s-p_1)(s-p_2)\dots (s-p_n)}=K^{\ast }\frac{{\prod }_{i=1}^m(s-z_i)}{{\prod }_{j=1}^n(s-p_j)}\text{\hspace{1em}(1)}$$
参数说明：

• $z_i(i=1,2,\dots ,m)$：分子多项式的零点，称为传递函数的零点；
• $p_j(j=1,2,\dots ,n)$：分母多项式的零点，称为传递函数的极点；
• 传递函数的零点和极点可以是实数，可以是复数；
• $K^{\ast }=b_0/a_0$：传递系数或根轨迹增益；
• 在复数平面上表示传递函数的零点和极点的图形，称为传递函数的零极点分布图；

常用于频率法的传递函数形式：
$$G(s)=\frac{b_m({\tau }_{1}s+1)({\tau }_2^2{s}^2+2\xi {\tau }_{2}s+1)\dots ({\tau }_{i}s+1)}{a_n(T_{1}s+1)(T_2^2{s}^2+2\xi T_{2}s+1)\dots (T_{j}s+1)}\text{\hspace{1em}(2)}$$
参数说明：

• 一次因子对应于实数零极点，二次因子对应于共轭复数零极点；
• ${\tau }_i、T_j$：时间常数；
• $K=b_m/a_n=K^{\ast }{\prod }_{i=1}^m(-z_i)/{\prod }_{j=1}^n(-p_j)$：传递系数或增益；

3.传递函数的极点和零点对输出的影响

• 传递函数的极点可以受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态；
• 传递函数的零点不形成自由运动的模态，但影响各模态在响应中所占的比重，影响响应曲线的形状；

4.典型元部件的传递函数

4.1 电位器传递函数

• 电位器：一种把线位移或角位移变换为电压量的装置；

• 单个电位器用作信号变换装置；一对电位器组成误差检测器；
  
  细节分析：

  • 单个电位器的电刷角位移$\theta (t)$与输出电压$u(t)$的关系：
    $$u(t)=K_1\theta (t)\text{\hspace{1em}(1)}$$

    • $K_1=E/{\theta }_{\max }$：电刷单位角位移对应的输出电压，称为电位器传递系数；
    • $E$：电位器电源电压；
    • ${\theta }_{\max }$：电位器最大工作角；

  • 电位器传递函数：
    $$G(s)=\frac{U(s)}{\Theta (s)}=K_1\text{\hspace{1em}(2)}$$

  • 电位器传递函数是一个常值，取决于电源电压$E$和电位器最大工作角度${\theta }_{\max }$；

  • 用一对相同的电位器组成误差检测器，输出电压
    $$u(t)=u_1(t)-u_2(t)=K_1[{\theta }_1(t)-{\theta }_2(t)]=K_1\Delta \theta (t)\text{\hspace{1em}(3)}$$

    • $K_1$：单个电位器的传递系数；
    • $\Delta \theta (t)={\theta }_1(t)-{\theta }_2(t)$：两个电位器电刷角位移之差，称为误差角；

  • 误差检测器传递函数：
    $$G(s)=\frac{U(s)}{\Delta \Theta (s)}=K_1\text{\hspace{1em}(4)}$$

  • Tips：

    • 使用电位器时，需要注意负载效应；负载效应：在电位器输出端接有负载时所产生的影响；
    • 当电位器接负载时，只是在负载阻抗足够大时，才能将电位器视为线性元件，其输出电压与电刷角位移之间才有线性关系；

4.2 测速发电机传递函数

• 测速发电机：用于测量角速度并将它转换成电压量的装置；

• 测速发电机分为：直流测速发电机和交流测速发电机；
  
  细节分析：

  • 直流测速发电机：测速发电机的转子与待测量的轴相连接，在电枢两端输出与转子角速度成正比的直流电压
    $$u(t)=K_t\omega (t)=K_t\frac{d\theta (t)}{dt}\text{\hspace{1em}(1)}$$

    • $\theta (t)$：转子角位移；
    • $\omega (t)=d\theta (t)/dt$：转子角速度；
    • $K_t$：测速发电机输出速率，表示单位角速度的输出电压；

  • 零初始条件，可得直流测速发电机传递函数
    $$G(s)=\frac{U(s)}{\Omega (s)}=K_t或G(s)=\frac{U(s)}{\Omega (s)}=K_{t}s\text{\hspace{1em}(2)}$$

  • 交流测速发电机：在结构上，有两个相互垂直放置的线圈，其中一个是激磁绕组，接入一定频率的正弦额定电压，另一个是输出绕组；当转子旋转时，输出绕组产生与转子角速度成比例的交流电压u(t)，其频率与激磁电压频率相同；

  • 交流测速发电机的传递函数和直流测速发电机相同；

4.3 电枢控制直流伺服电机

• 电枢控制的直流伺服电机在控制系统中广泛应用于执行机构，用来对被控对象的机械运动实现快速控制；
• 电枢控制直流电机在前面已经详细讲述，在此不再重复；

4.4 两相伺服电动机传递函数

细节分析：

• 两相伺服电动机由相互垂直配置的两相定子线圈和一个高电阻值的转子组成；定子线圈的一相是激磁绕组，另一相是控制绕组，通常接在功率放大器的输出端，提供数值和极性可变的交流控制电压；

• 两相伺服电动机传递函数
  $$\begin{array}{rl}& G(s)=\frac{\Theta (s)}{U_a(s)}=\frac{C_m}{s(J_{m}s+f_m+C_{\omega })}=\frac{K_m}{s(T_{m}s+1)}\\ & G(s)=\frac{{\Omega }_m(s)}{U_a(s)}=\frac{K_m}{T_{m}s+1}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)(2)}$$

  • $K_m=C_m/(f_m+C_{\omega })$：电动机传递系数；
  • $T_m=J_m/(f_m+C_{\omega })$：电动机时间常数；
  • $f_m$：折合到电机轴上的总黏性摩擦系数；
  • $J_m$：折合到电机轴上的总转动惯量；
  • $C_m=M_s/E$：$M_s$为堵转转矩；
  • $C_{\omega }=d{M}_m/d{\omega }_m$：阻尼系数，机械特性线性化的直线斜率；
  • $M_m$：电动机输出转矩；
  • ${\omega }_m$：电动机角速度；

4.5 无源网络传递函数

• 为了改善控制系统的性能，常在系统中引入无源网络作为校正元件；
• 无源网络通常由电阻、电容和电感组成；
• 求取无源网络的传递函数的两种方法
  • 先列写微分方程，然后在零初始条件下进行拉氏变换，得到传递函数；
  • 应用复阻抗直接列写网络的代数方程，求其传递函数；
  • 复阻抗方式：电阻表示$R$，电容$C$复阻抗表示$1/(Cs)$，电感$L$复阻抗表示$Ls$；
• 实例：$RLC$网络如下，用复阻抗求传递函数
  

  • 由图直接写出传递函数
    $$\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\frac{\frac{1}{Cs}}{Ls+R+\frac{1}{Cs}}=\frac{1}{LC{s}^2+RCs+1}\text{\hspace{1em}(1)}$$

  • 求无源网络传递函数时，一般假设网络输出端接有无穷大负载阻抗，输入内阻为零，否则应考虑负载效应；

  • 负载效应解决方案：要求后级网络的输入阻抗足够大，或要求前级网络的输出阻抗趋于0，或在两级网络之间接入隔离放大器；

4.6 单容水槽传递函数

单容水槽工作过程：水流通过控制阀门不断流入水槽，同时也有水通过负载阀不断地流出储水槽，水流入量$Q_i$由调节阀开度$u$加以控制，流出量$Q_o$则由用户根据需要通过负载阀来改变，被调量为水位$h$，反映水的流入与流出之间的平衡关系；

参数说明：

• $Q_i$：输入水流量的稳态值；
• $\Delta Q_i$：输入水流量的增量；
• $Q_o$：输出水流量的稳态值；
• $\Delta Q_0$：输出水流量的增量；
• $h$：液位高度；
• $h_0$：液位的稳态值；
• $\Delta h$：液位的增量；
• $u$：调节阀开度；

细节分析：

• 设$A$为液槽横截面积，$R$为流出端负载阀门的阻力(液阻)；根据物料平衡关系，在正常工作状态下，初始时刻处于平衡状态：$Q_o=Q_i，h=h_0$，当调节阀开度发生变化$\Delta u$时，液位发生变化；在流出端负载阀开度不变的情况下，液位的变化将使流出量改变，流入量与流出量之差为：
  $$\Delta O_i-\Delta Q_o=\frac{dV}{dt}=A\frac{d\Delta h}{dt}\text{\hspace{1em}(1)}$$

  • $V$：液槽液体储存量；
  • $\Delta Q_i$：由调节阀开度发生变化$\Delta u$引起，当阀前后压差不变时，$\Delta Q_i=K_u\Delta u$，$K_u$：阀门流量系数；
  • 流出量与液位高度关系：$Q_o=A_o\sqrt{2gh}$，在平衡点$(h_0,Q_0)$附近进行线性化，得到液阻表达式：$R=\Delta h/\Delta Q_o$；

• 可得
  $$T\frac{d\Delta h}{dt}+\Delta h=K\Delta u\text{\hspace{1em}(2)}$$

  • $T=RA，K=K_{u}R$；

• 单容水槽传递函数：
  $$G(s)=\frac{\Delta H(s)}{\Delta U(s)}=\frac{K}{Ts+1}\text{\hspace{1em}(3)}$$

• 有纯延迟的单容水槽

  如果在单容水槽中，调节阀1距离储水槽2有一段较长的距离，则调节阀开度变化所引起的流入量变化$\Delta Q_i$需要经过一段时间$\tau$才能对水槽液位产生影响，$\tau$为纯延迟时间；

  纯延迟单容水槽的微分方程为：
  $$T\frac{d\Delta h}{dt}+\Delta h=K\Delta u(t-\tau )\text{\hspace{1em}(4)}$$
  纯延迟单容水槽的传递函数为：
  $$G(s)=\frac{\Delta H(s)}{\Delta U(s)}=\frac{K}{Ts+1}{e}^{-\tau s}\text{\hspace{1em}(5)}$$

4.7 电加热炉传递函数

原理图参数说明：

• $u$：电热丝两端电压；
• $T_1$：炉内温度；

细节分析：

• 设电热丝质量为$M$，比热为$C$，传热系数为$H$，传热面积为$A$，未加温前炉内温度为$T_0$，加温后温度为$T_1$，单位时间内电热丝产生的热量为$Q_i$，根据热力学知识：
  $$MC\frac{d(T_1-T_0)}{dt}+HA(T_1-T_0)=Q_i\text{\hspace{1em}(1)}$$

• $Q_i$与外加电压$u$的平方成比例，因此$Q_i$与$u$呈非线性关系，在平衡点$(Q_0,u_0)$附近进行线性化，有$K_u=\Delta Q_i/\Delta u$，则电加热炉增量微分方程：
  $$T\frac{d\Delta T}{dt}+\Delta T=K\Delta u\text{\hspace{1em}(2)}$$

  • $\Delta T=T_1-T_0$：温度差；
  • $T=MC/(HA)$：电加热炉时间常数；
  • $K=K_u/(HA)$：电加热炉传递系数；

• 零初始条件下，电热炉传递函数
  $$G(s)=\frac{\Delta T(s)}{\Delta U(s)}=\frac{K}{Ts+1}\text{\hspace{1em}(3)}$$

4.8 双容水槽传递函数

细节分析：

• 输入量：调节阀1产生的阀门开度引起变化$\Delta u$；

• 输出量：第二个水槽的液位增量$\Delta h_2$；

• 在水流增量、水槽液位增量及液阻之间，经平衡点线性化后，有关系式：
  $$\begin{array}{rl}& \Delta Q_1-\Delta Q_2=C_2\frac{d\Delta h_2}{dt}\\ & \Delta Q_1=\frac{\Delta h_1}{R_1},\Delta Q_2=\frac{\Delta h_2}{R_2}\\ & \Delta Q_i-\Delta Q_1=C_1\frac{d\Delta h_1}{dt}\\ & \Delta Q_i=K_u\Delta u\end{array}\text{\hspace{1em}(1)(2)(3)(4)}$$

  • $C_1、C_2$：液槽的容量系数；
  • $R_1、R_2$：液槽的液阻；

• 由上几式可得
  $$\begin{array}{rl}& \frac{\Delta h_1}{R_1}-\frac{\Delta h_2}{R_2}=C_2\frac{d\Delta h_2}{dt}\\ & \Delta h_1=R_1(C_2\frac{d\Delta h_2}{dt}+\frac{\Delta h_2}{R_2})\\ & \frac{d\Delta h_1}{dt}=R_1{C}_2\frac{d^2\Delta h_2}{d{t}^2}+\frac{R_1}{R_2}\frac{d\Delta h_2}{dt}\end{array}\text{\hspace{1em}(5)(6)(7)}$$

• 双容水槽微分方程为：
  $$T_1{T}_2\frac{d^2\Delta h_2}{d{t}^2}+(T_1+T_2)\frac{d\Delta h_2}{dt}+\Delta h_2=K\Delta u\text{\hspace{1em}(8)}$$

  • $T_1=R_1{C}_1$：第一个水槽的时间常数；
  • $T_2=R_2{C}_2$：第二个水槽的时间常数；
  • $K$：双容水槽的传递系数；

• 双容水槽的传递函数为：
  $$G(s)=\frac{\Delta H_2(s)}{\Delta U(s)}=\frac{K}{T_1{T}_2{s}^2+(T_1+T_2)s+1}\text{\hspace{1em}(9)}$$

• 若双容水槽调节阀1开度变化所引起的流入水量变化存在纯延迟，则传递函数为：
  $$G(s)=\frac{K}{T_1{T}_2{s}^2+(T_1+T_2)s+1}{e}^{-\tau s}\text{\hspace{1em}(10)}$$