一、二叉排序树（BST）

1.1定义

二叉排序树（也称为二叉查找树）或者是一颗空树，或者是具有下列特性的二叉树：

1. 若左子树非空，则左子树上所有节点的值均小于根节点的值
2. 若右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根节点的值
3. 左、右子树也分别是一颗二叉排序树

根据二叉排序树的定义，左子树的结点值<根结点<右子树结点值，所以对二叉排序树进行中序遍历，可以得到一个递增有序序列。

1.2二叉排序树的插入

若原二叉排序树为空，则直接插入结点；
否则，若关键字k小于根结点值，插入到左子树
关键字k大于根结点值，则插入到右子树

1.3二叉排序树的删除

1. 被删除的结点为叶子结点，直接删除

2. 被删除的结点只有左子树或者右子树，用其子树顶替其位置

   1. 举例子：若要删除的是60这个结点
   2. 只需要将60的子树代替他的位置即可

   

3. 被删结点有左、右子树

   1. 方法一：可以用后继结点顶替，再删除后继结点（后继：左子树中右下的结点 ）
   2. 方法二：可以用前驱结点顶替，再删除前驱结点（前驱结点：左子树中最右下的结点 ）
      1. 举例子：若要删除的是50这个结点，由于他有左子树和右子树
      2. 使用方法一：由于我们二叉排序树进行中序遍历，可以得到一个递增的有序序列，
      3. 所以我们找到按照中序遍历的第一个结点，此结点一定是右子树中值最小的，为60
      4. 用最小的值（60）去替代，要删除的根节点，即可以保证排序树的特性不变
         
      5. 由于60是最左下的结点，所以他是没有左子树的，那么接下来就转变为没有左子树的情况，因此只要用他的右子树来代替即可
         

4. 使用方法二：用前驱结点来替代（取当前结点左子树中最大的值来替代当前要被删除的结点）

5. 最右下的结点是他的直接前驱(30),用30替代50

6. 由于30是最右下的结点，所以他肯定没有右子树或者根结点的，则转换为第一种或者第二种情况
   

1.4二叉排序树的查找效率

二、平衡二叉树（AVL）

2.1定义

平衡二叉树——树上任一结点的左子树和右子树高度之差不超过1，只要有任意结点的平衡因子绝对值大于1，就不是平衡二叉树
结点的平衡因子 = 左子树高 - 右子树高

（平衡因子的值只可能是-1、0、1）

2.2如何保持二叉树的平衡

从插入点往后找第一个不平衡的结点为根的子树，每次调整的对象都是“最小不平衡子树 ”

2.3平衡二叉树的插入

2.3.1调整最小不平衡子树

1. 恢复平衡
2. 保持二叉排序树特性

2.3.1“LL”——在A的左孩子的左子树插入导致A不平衡，将A的左孩子右上旋

2.3.2查找效率

2.3.3知识点回顾

2.4平衡二叉树的删除

例1:删除9

1. 通过步骤1，由于是叶子结点直接删除；
2. 通过步骤2 ，由于没有找到最小不平衡子树，所以直接删除9即可
   
   例2:删除55（在删除9结点之后的图中）
3. 通过步骤1，由于55是叶子结点直接删除；
4. 通过步骤2 ，找到最小不平衡子树（75），在删除55之后，75的左子树高度是60，右子树高度是3，出现不平衡现象
5. 通过步骤3:调整不平衡，找到个头最高的“儿子、孙子”；
   1. 可以发现右边的个头最高，那么就是80这个结点
   2. 再从个头最高的“儿子”找到个头最高的孙子，可以发现是90
      
6. 步骤4:调整平衡
   因为孙子（90）在是在右孩子的右子树，则孙子是RR，所以儿子（80）左单旋转
   
7. 步骤5:由于通过左旋后，50的右子树高度由4变成3，也会有可能导致80的祖先（50）出现不平衡的现象，所以这就是不平衡的向上传导现象

例3:删除32

1. 进行右旋操作：
   孙子（50）先右旋（到达78位置）让78成为50右的孩子，50原本的右孩子62变成78的左孩子
   1. 再左旋（到达44）
      
2. 再进行左单旋：
   1. 让50上升到最高位置（50代替44），左旋后44变成50的左孩子
      

例子4:

2.5知识点回顾

重点领会例子1-4

三、散列表（哈希表）

3.1定义

散列表又称哈希表，是一种数据结构，特点：数据元素的关键字与其存储地址相关

3.2散列查找

查找成功：

查找失败：有的教材会把“空指针”的判定作为一次比较


查找成功平均长度：

查找失败的平均长度：
分子是存储了多少个，分母是散列表的长度

3.3装填因子

3.4设计散列函数

3.4.1除留余数法

首先要知道的概念：质数：除了能被1和自己整除之外，不能被其他数除
eg.8能被2、4除，所以不是
3、7都是质数

3.4.2直接定址法

适合分布连续的情况

3.4.3数字分析法

3.4.4平方取中法

3.5处理冲突方法

1. 线性探测法
2. 平方探测法
3. 伪随机序列法

3.6重要知识点回顾