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高等数学（第七版）同济大学 习题5-1 个人解答
高等数学（第七版）同济大学 习题5-1
函数作图软件：Mathematica
题解中的C语言代码采用的IDE：Visual Studio 2010
1. 利用定积分的定义计算由抛物线 y = x 2 + 1 、两直线 x = a 、 x = b ( b > a ) 及 x 轴所围成的图形的面积。 \begin{aligned}&1. \ 利用定积分的定义计算由抛物线y=x^2+1、两直线x=a、x=b\ (b \gt a)及x轴所围成的图形的面积。&\end{aligned} 1. 利用定积分的定义计算由抛物线y=x2+1、两直线x=a、x=b (b>a)及x轴所围成的图形的面积。
解：
因为函数 f ( x ) = x 2 + 1 在区间 [ a , b ] 上连续，所以函数可积。为了便于计算，不妨把区间 [ a , b ] 分成 n 等份， 分点为 x i = a + i ( b − a ) n ( i = 0 , 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n ) ，每个小区间长度为 Δ x i = b − a n ，取 ξ i 为小区间的右端点 x i ，得 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i = ∑ i = 1 n [ ( a + i ( b − a ) n ) 2 + 1 ] b − a n = b − a n ∑ i = 1 n ( a 2 + 1 ) + 2 a ( b − a ) 2 n 2 ∑ i = 1 n i + ( b − a ) 3 n 3 ∑ i = 1 n i 2 = ( b − a ) ( a 2 + 1 ) + a ( b − a ) 2 ( n + 1 ) n + ( b − a ) 3 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 n 2 当 n → ∞ 时，上式极限为 ( b − a ) ( a 2 + 1 ) + a ( b − a ) 2 + 1 3 ( b − a ) 3 = b 3 − a 3 3 + b − a ，即图形面积。 \begin{aligned} &\ \ 因为函数f(x)=x^2+1在区间[a, \ b]上连续，所以函数可积。为了便于计算，不妨把区间[a, \ b]分成n等份，\\\\ &\ \ 分点为x_i=a+\frac{i(b-a)}{n}\ (i=0, 1, 2, \cdot\cdot\cdot,n)，每个小区间长度为\Delta x_i=\frac{b-a}{n}，取\xi_i为小区间的右端点x_i，得\\\\ &\ \ \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i=\sum_{i=1}^{n}\left[\left(a+\frac{i(b-a)}{n}\right)^2+1\right]\frac{b-a}{n}=\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}(a^2+1)+2\frac{a(b-a)^2}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i+\frac{(b-a)^3}{n^3}\sum_{i=1}^{n}i^2=\\\\ &\ \ (b-a)(a^2+1)+a(b-a)^2\frac{(n+1)}{n}+(b-a)^3\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\\\\ &\ \ 当n \rightarrow \infty时，上式极限为\\\\ &\ \ (b-a)(a^2+1)+a(b-a)^2+\frac{1}{3}(b-a)^3=\frac{b^3-a^3}{3}+b-a，即图形面积。 & \end{aligned} 因为函数f(x)=x2+1在区间[a, b]上连续，所以函数可积。为了便于计算，不妨把区间[a, b]分成n等份， 分点为xi=a+ni(b−a) (i=0,1,2,⋅⋅⋅,n)，每个小区间长度为Δxi=nb−a，取ξi为小区间的右端点xi，得 i=1∑nf(ξi)Δxi=i=1∑n[(a+ni(b−a))2+1]nb−a=nb−ai=1∑n(a2+1)+2n2a(b−a)2i=1∑ni+n3(b−a)3i=1∑ni2= (b−a)(a2+1)+a(b−a)2n(n+1)+(b−a)36n2(n+1)(2n+1) 当n→∞时，上式极限为 (b−a)(a2+1)+a(b−a)2+31(b−a)3=3b3−a3+b−a，即图形面积。
2. 利用定积分的定义计算下列积分： \begin{aligned}&2. \ 利用定积分的定义计算下列积分：&\end{aligned} 2. 利用定积分的定义计算下列积分：
( 1 ) ∫ a b x d x ( a < b ) ； ( 2 ) ∫ 0 1 e x d x . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \int_{a}^{b}xdx\ (a \lt b)；&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \int_{0}^{1}e^xdx. & \end{aligned} (1) ∫abxdx (a<b)； (2) ∫01exdx.
解：
( 1 ) 因为函数 f ( x ) = x 在区间 [ a , b ] 上连续，所以函数可积。为了便于计算，不妨把区间 [ a , b ] 分成 n 等份， 取 ξ i 为小区间的右端点 x i ，得 ∫ a b x d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n [ a + i ( b − a ) n ] b − a n = lim n → ∞ [ a ( b − a ) + ( b − a ) 2 n 2 n ( n + 1 ) 2 ] = a ( b − a ) + ( b − a ) 2 2 = b 2 − a 2 2 ( 2 ) 因为函数 f ( x ) = e x 在区间 [ 0 , 1 ] 上连续，所以函数可积。为了便于计算，不妨把区间 [ 0 , 1 ] 分成 n 等份， 取 ξ i 为小区间的右端点 x i ，得 ∫ 0 1 e x d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n 1 n e i n = lim n → ∞ ( e 1 n ) n + 1 − 1 n ( e 1 n − 1 ) = lim n → ∞ ( e n + 1 n − 1 ) lim n → ∞ ( e 1 n − 1 ) = e − 1 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为函数f(x)=x在区间[a, \ b]上连续，所以函数可积。为了便于计算，不妨把区间[a, \ b]分成n等份，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 取\xi_i为小区间的右端点x_i，得\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{a}^{b}xdx=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\left[a+\frac{i(b-a)}{n}\right]\frac{b-a}{n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\left[a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}\right]=a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{2}=\frac{b^2-a^2}{2}\\\\ &\ \ (2)\ 因为函数f(x)=e^x在区间[0, \ 1]上连续，所以函数可积。为了便于计算，不妨把区间[0, \ 1]分成n等份，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 取\xi_i为小区间的右端点x_i，得\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{0}^{1}e^xdx=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}e^{\frac{i}{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(e^{\frac{1}{n}})^{n+1}-1}{n(e^{\frac{1}{n}}-1)}=\frac{\lim_{n \rightarrow \infty}(e^{\frac{n+1}{n}}-1)}{\lim_{n \rightarrow \infty}(e^{\frac{1}{n}}-1)}=e-1 & \end{aligned} (1) 因为函数f(x)=x在区间[a, b]上连续，所以函数可积。为了便于计算，不妨把区间[a, b]分成n等份， 取ξi为小区间的右端点xi，得 ∫abxdx=n→∞limi=1∑n[a+ni(b−a)]nb−a=n→∞lim[a(b−a)+n2(b−a)22n(n+1)]=a(b−a)+2(b−a)2=2b2−a2 (2) 因为函数f(x)=ex在区间[0, 1]上连续，所以函数可积。为了便于计算，不妨把区间[0, 1]分成n等份， 取ξi为小区间的右端点xi，得 ∫01exdx=n→∞limi=1∑nn1eni=n→∞limn(en1−1)(en1)n+1−1=limn→∞(en1−1)limn→∞(enn+1−1)=e−1
3. 利用定积分的几何意义，证明下列等式： \begin{aligned}&3. \ 利用定积分的几何意义，证明下列等式：&\end{aligned} 3. 利用定积分的几何意义，证明下列等式：
( 1 ) ∫ 0 1 2 x d x = 1 ； ( 2 ) ∫ 0 1 1 − x 2 d x = π 4 ； ( 3 ) ∫ − π π s i n x d x = 0 ； ( 4 ) ∫ − π 2 π 2 c o s x d x = 2 ∫ 0 π 2 c o s x d x . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \int_{0}^{1}2xdx=1；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}；\\\\ &\ \ (3)\ \ \int_{-\pi}^{\pi}sin\ xdx=0；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cos\ xdx=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos\ x dx.\\\\ & \end{aligned} (1) ∫012xdx=1； (2) ∫011−x2dx=4π； (3) ∫−ππsin xdx=0； (4) ∫−2π2πcos xdx=2∫02πcos xdx.
解：
( 1 ) 根据定积分的几何意义， ∫ 0 1 2 x d x 表示由直线 y = 2 x ， x = 1 及 x 轴围成的图形的面积，图形为直角三角形， 底边长为 1 ，高为 2 ，面积为 1 ，即 ∫ 0 1 2 x d x = 1. ( 2 ) 根据定积分的几何意义， ∫ 0 1 1 − x 2 d x 表示由曲线 y = 1 − x 2 及 x 轴和 y 轴围成的图形面积， 为四分之一单位圆形，面积为 π 4 ，即 ∫ 0 1 1 − x 2 d x = π 4 ( 3 ) 因为 y = s i n x 在区间 [ 0 , π ] 上为正，在区间 [ − π , 0 ] 上为负，根据定积分的几何意义， ∫ − π π s i n x d x 表示曲线 y = s i n x ( x ∈ [ 0 , π ] ) 与 x 轴所围成的图形 减去曲线 y = s i n x ( x ∈ [ − π , 0 ] ) 与 x 轴所围成的图形，由于两部分面积相等，所以为 0 ，即 ∫ − π π s i n x d x = 0 ( 4 ) 因为 y = c o s x 在区间 [ − π 2 , π 2 ] 上为正，根据定积分的几何意义， ∫ − π 2 π 2 c o s x d x 表示曲线 y = c o s x ( x ∈ [ 0 , π 2 ] ) 与 x 轴和 y 轴围成的图形面积加上曲线 y = c o s x ( x ∈ [ − π 2 , 0 ] ) 与 x 轴和 y 轴围成的图形面积， 两部分面积相等，即 ∫ − π 2 π 2 c o s x d x = 2 ∫ 0 π 2 c o s x d x \begin{aligned} &\ \ (1)\ 根据定积分的几何意义，\int_{0}^{1}2xdx表示由直线y=2x，x=1及x轴围成的图形的面积，图形为直角三角形，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 底边长为1，高为2，面积为1，即\int_{0}^{1}2xdx=1.\\\\ &\ \ (2)\ 根据定积分的几何意义，\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx表示由曲线y=\sqrt{1-x^2}及x轴和y轴围成的图形面积，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 为四分之一单位圆形，面积为\frac{\pi}{4}，即\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}\\\\ &\ \ (3)\ 因为y=sin\ x在区间[0, \ \pi]上为正，在区间[-\pi, \ 0]上为负，根据定积分的几何意义，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{-\pi}^{\pi}sin\ xdx表示曲线y=sin\ x\ (x \in [0, \ \pi])与x轴所围成的图形\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 减去曲线y=sin\ x\ (x \in [-\pi, \ 0])与x轴所围成的图形，由于两部分面积相等，所以为0，即\int_{-\pi}^{\pi}sin\ xdx=0\\\\ &\ \ (4)\ 因为y=cos\ x在区间[-\frac{\pi}{2}, \ \frac{\pi}{2}]上为正，根据定积分的几何意义，\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cos\ xdx表示曲线y=cos\ x\ \left(x \in \left[0, \ \frac{\pi}{2}\right]\right)\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 与x轴和y轴围成的图形面积加上曲线y=cos\ x\ \left(x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \ 0 \right]\right)与x轴和y轴围成的图形面积，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 两部分面积相等，即\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cos\ xdx=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos\ x dx & \end{aligned} (1) 根据定积分的几何意义，∫012xdx表示由直线y=2x，x=1及x轴围成的图形的面积，图形为直角三角形， 底边长为1，高为2，面积为1，即∫012xdx=1. (2) 根据定积分的几何意义，∫011−x2dx表示由曲线y=1−x2及x轴和y轴围成的图形面积， 为四分之一单位圆形，面积为4π，即∫011−x2dx=4π (3) 因为y=sin x在区间[0, π]上为正，在区间[−π, 0]上为负，根据定积分的几何意义， ∫−ππsin xdx表示曲线y=sin x (x∈[0, π])与x轴所围成的图形 减去曲线y=sin x (x∈[−π, 0])与x轴所围成的图形，由于两部分面积相等，所以为0，即∫−ππsin xdx=0 (4) 因为y=cos x在区间[−2π, 2π]上为正，根据定积分的几何意义，∫−2π2πcos xdx表示曲线y=cos x (x∈[0, 2π]) 与x轴和y轴围成的图形面积加上曲线y=cos x (x∈[−2π, 0])与x轴和y轴围成的图形面积， 两部分面积相等，即∫−2π2πcos xdx=2∫02πcos xdx
4. 利用定积分的几何意义，求下列积分： \begin{aligned}&4. \ 利用定积分的几何意义，求下列积分：&\end{aligned} 4. 利用定积分的几何意义，求下列积分：
( 1 ) ∫ 0 t x d x ( t > 0 ) ； ( 2 ) ∫ − 2 4 ( x 2 + 3 ) d x ； ( 3 ) ∫ − 1 2 ∣ x ∣ d x ； ( 4 ) ∫ − 3 3 9 − x 2 d x . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \int_{0}^{t}xdx\ (t \gt 0)；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \int_{-2}^{4}\left(\frac{x}{2}+3\right)dx；\\\\ &\ \ (3)\ \ \int_{-1}^{2}\ |x|dx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ \int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}dx.\\\\ & \end{aligned} (1) ∫0txdx (t>0)； (2) ∫−24(2x+3)dx； (3) ∫−12 ∣x∣dx； (4) ∫−339−x2dx.
解：
( 1 ) 根据定积分的几何意义， ∫ 0 t x d x 表示由直线 y = x ， x = t 及 x 轴所围成的直角三角形面积， 三角形底长和高都为 t ，因此面积为 1 2 t 2 ，所以， ∫ 0 t x d x = 1 2 t 2 ( 2 ) 根据定积分的几何意义， ∫ − 2 4 ( x 2 + 3 ) d x 表示由直线 y = x 2 + 3 ， x = − 2 ， x = 4 及 x 轴围成的梯形的面积， 梯形的两边分别为 2 和 5 ，高为 6 ，因此面积为 21 ，所以 ∫ − 2 4 ( x 2 + 3 ) d x = 21 ( 3 ) 根据定积分的几何意义， ∫ − 1 2 ∣ x ∣ d x 表示由折线 y = ∣ x ∣ ，直线 x = − 1 ， x = 2 及 x 轴所围成的图形面积， 图形是两个直角三角形组成，一个由直线 y = − x ， x = − 1 和 x 轴组成，边长为 1 ，面积为 1 2 ， 另一个由直线 y = x ， x = 2 和 x 轴围成，边长为 2 ，面积为 2 ，两部分面积之和为 5 2 ，所以， ∫ − 1 2 ∣ x ∣ d x = 5 2 ( 4 ) 根据定积分的几何意义， ∫ − 3 3 9 − x 2 d x 表示由上半圆 y = 9 − x 2 及 x 轴围成的半圆面积， 所以， ∫ − 3 3 9 − x 2 d x = 9 2 π . \begin{aligned} &\ \ (1)\ 根据定积分的几何意义，\int_{0}^{t}xdx表示由直线y=x，x=t及x轴所围成的直角三角形面积，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 三角形底长和高都为t，因此面积为\frac{1}{2}t^2，所以，\int_{0}^{t}xdx=\frac{1}{2}t^2\\\\ &\ \ (2)\ 根据定积分的几何意义，\int_{-2}^{4}\left(\frac{x}{2}+3\right)dx表示由直线y=\frac{x}{2}+3，x=-2，x=4及x轴围成的梯形的面积，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 梯形的两边分别为2和5，高为6，因此面积为21，所以\int_{-2}^{4}\left(\frac{x}{2}+3\right)dx=21\\\\ &\ \ (3)\ 根据定积分的几何意义，\int_{-1}^{2}\ |x|dx表示由折线y=|x|，直线x=-1，x=2及x轴所围成的图形面积，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 图形是两个直角三角形组成，一个由直线y=-x，x=-1和x轴组成，边长为1，面积为\frac{1}{2}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 另一个由直线y=x，x=2和x轴围成，边长为2，面积为2，两部分面积之和为\frac{5}{2}，所以，\int_{-1}^{2}\ |x|dx=\frac{5}{2}\\\\ &\ \ (4)\ 根据定积分的几何意义，\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}dx表示由上半圆y=\sqrt{9-x^2}及x轴围成的半圆面积，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以，\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}dx=\frac{9}{2}\pi. & \end{aligned} (1) 根据定积分的几何意义，∫0txdx表示由直线y=x，x=t及x轴所围成的直角三角形面积， 三角形底长和高都为t，因此面积为21t2，所以，∫0txdx=21t2 (2) 根据定积分的几何意义，∫−24(2x+3)dx表示由直线y=2x+3，x=−2，x=4及x轴围成的梯形的面积， 梯形的两边分别为2和5，高为6，因此面积为21，所以∫−24(2x+3)dx=21 (3) 根据定积分的几何意义，∫−12 ∣x∣dx表示由折线y=∣x∣，直线x=−1，x=2及x轴所围成的图形面积， 图形是两个直角三角形组成，一个由直线y=−x，x=−1和x轴组成，边长为1，面积为21， 另一个由直线y=x，x=2和x轴围成，边长为2，面积为2，两部分面积之和为25，所以，∫−12 ∣x∣dx=25 (4) 根据定积分的几何意义，∫−339−x2dx表示由上半圆y=9−x2及x轴围成的半圆面积， 所以，∫−339−x2dx=29π.
5. 设 a < b ，问 a 、 b 取什么值时，积分 ∫ a b ( x − x 2 ) d x 取得最大值？ \begin{aligned}&5. \ 设a \lt b，问a、b取什么值时，积分\int_{a}^{b}(x-x^2)dx取得最大值？&\end{aligned} 5. 设a<b，问a、b取什么值时，积分∫ab(x−x2)dx取得最大值？
解：
根据定积分的几何意义， ∫ a b ( x − x 2 ) d x 表示由抛物线 y = − x 2 + x ， x = a ， x = b 及 x 轴围成的图形面积， 能够看出当 0 < x < 1 时， y = − x 2 + x 为正，当 x < 0 或 x > 1 时， y = − x 2 + x 为负， 因此，当 0 < x < 1 时，围成的图形面积最大，因为 a < b ，所以， a 为 0 ， b 为 1. \begin{aligned} &\ \ 根据定积分的几何意义，\int_{a}^{b}(x-x^2)dx表示由抛物线y=-x^2+x，x=a，x=b及x轴围成的图形面积，\\\\ &\ \ 能够看出当0 \lt x \lt1时，y=-x^2+x为正，当x \lt 0或x \gt 1时，y=-x^2+x为负，\\\\ &\ \ 因此，当0 \lt x \lt1时，围成的图形面积最大，因为a \lt b，所以，a为0，b为1. & \end{aligned} 根据定积分的几何意义，∫ab(x−x2)dx表示由抛物线y=−x2+x，x=a，x=b及x轴围成的图形面积， 能够看出当0<x<1时，y=−x2+x为正，当x<0或x>1时，y=−x2+x为负， 因此，当0<x<1时，围成的图形面积最大，因为a<b，所以，a为0，b为1.
6. 已知 l n 2 = ∫ 0 1 1 1 + x d x ，试用抛物线法公式（ 1 − 6 ），求出 l n 2 的近似值（取 n = 10 ，计算时取 4 位小数）。 \begin{aligned}&6. \ 已知ln\ 2=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx，试用抛物线法公式（1-6），求出ln\ 2的近似值（取n=10，计算时取4位小数）。&\end{aligned} 6. 已知ln 2=∫011+x1dx，试用抛物线法公式（1−6），求出ln 2的近似值（取n=10，计算时取4位小数）。
解：
计算 y i 并列表 \begin{aligned} &\ \ 计算y_i并列表 \end{aligned} 计算yi并列表
i i i x i x_i xi y i y_i yi 0 0 0 0.0 0.0 0.0 1.0000 1.0000 1.0000 1 1 1 0.1 0.1 0.1 0.9091 0.9091 0.9091 2 2 2 0.2 0.2 0.2 0.8333 0.8333 0.8333 3 3 3 0.3 0.3 0.3 0.7692 0.7692 0.7692 4 4 4 0.4 0.4 0.4 0.7143 0.7143 0.7143 5 5 5 0.5 0.5 0.5 0.6667 0.6667 0.6667 6 6 6 0.6 0.6 0.6 0.6250 0.6250 0.6250 7 7 7 0.7 0.7 0.7 0.5882 0.5882 0.5882 8 8 8 0.8 0.8 0.8 0.5556 0.5556 0.5556 9 9 9 0.9 0.9 0.9 0.5263 0.5263 0.5263 10 10 10 1.0 1.0 1.0 0.5000 0.5000 0.5000 根据抛物线法公式，得 s = 1 30 [ ( y 0 + y 10 ) + 2 ( y 2 + y 4 + y 6 + y 8 ) + 4 ( y 1 + y 3 + y 5 + y 7 + y 9 ) ] ≈ 0.6932 \begin{aligned} &\ \ 根据抛物线法公式，得\\\\ &\ \ s=\frac{1}{30}[(y_0+y_{10})+2(y_2+y_4+y_6+y_8)+4(y_1+y_3+y_5+y_7+y_9)] \approx 0.6932 & \end{aligned} 根据抛物线法公式，得 s=301[(y0+y10)+2(y2+y4+y6+y8)+4(y1+y3+y5+y7+y9)]≈0.6932
（以下代码中包含了梯形法的算法结果，sum1是梯形法结果，sum2是抛物线法结果）
代码块：
#include#include int main() { double a, b, n, x, y, y0, yn; double sum1=0.0, sum2=0.0, sumOdd=0.0, sumEven=0.0; printf("Enter a, b, n: "); scanf_s("%lf %lf %lf", &a, &b, &n); double i; for(i=0.0; i<=n; i++){ x=i/n; y=1/(1+x); if(i==0) y0=y; else if(i==n) yn=y; else{ sum1+=y; if((int)i%2==0) sumEven+=y; if((int)i%2!=0) sumOdd+=y; } printf("%3.0lf %5.1lf %8.4lf\n", i, x, y); } sum1+=(y0+yn)/2; sum1*=(b-a)/n; sum2=(b-a)/(3*n)*(y0+yn+4*sumOdd+2*sumEven); printf("sum1 approx: %2.4lf\nsum2 approx: %2.4lf\n", sum1, sum2); system("pause"); return 0; } - 1
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7. 设 ∫ − 1 1 3 f ( x ) d x = 18 ， ∫ − 1 3 f ( x ) d x = 4 ， ∫ − 1 3 g ( x ) d x = 3 。求 \begin{aligned}&7. \ 设\int_{-1}^{1}3f(x)dx=18，\int_{-1}^{3}f(x)dx=4，\int_{-1}^{3}g(x)dx=3。求&\end{aligned} 7. 设∫−113f(x)dx=18，∫−13f(x)dx=4，∫−13g(x)dx=3。求
( 1 ) ∫ − 1 1 f ( x ) d x ； ( 2 ) ∫ 1 3 f ( x ) d x ； ( 3 ) ∫ 3 − 1 g ( x ) d x ； ( 4 ) ∫ − 1 3 1 5 [ 4 f ( x ) + 3 g ( x ) ] d x . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \int_{-1}^{1}f(x)dx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \int_{1}^{3}f(x)dx；\\\\ &\ \ (3)\ \ \int_{3}^{-1}\ g(x)dx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ \int_{-1}^{3}\frac{1}{5}[4f(x)+3g(x)]dx.\\\\ & \end{aligned} (1) ∫−11f(x)dx； (2) ∫13f(x)dx； (3) ∫3−1 g(x)dx； (4) ∫−1351[4f(x)+3g(x)]dx.
解：
( 1 ) 因为 ∫ − 1 1 3 f ( x ) d x = 18 ，即 3 ∫ − 1 1 f ( x ) d x = 18 ，所以， ∫ − 1 1 f ( x ) d x = 6 ( 2 ) 根据 ( 1 ) 结果， ∫ − 1 1 f ( x ) d x = 6 ，得 ∫ 1 − 1 f ( x ) d x = − 6 ，又根据定积分性质 2 ， 得 ∫ 1 3 f ( x ) d x = ∫ 1 − 1 f ( x ) d x + ∫ − 1 3 f ( x ) d x = − 6 + 4 = − 2 ( 3 ) 因为 ∫ − 1 3 g ( x ) d x = 3 ，所以， ∫ 3 − 1 g ( x ) d x = − 3 ( 4 ) ∫ − 1 3 1 5 [ 4 f ( x ) + 3 g ( x ) ] d x = 4 5 ∫ − 1 3 f ( x ) d x + 3 5 ∫ − 1 3 g ( x ) d x = 16 5 + 9 5 = 5 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为\int_{-1}^{1}3f(x)dx=18，即3\int_{-1}^{1}f(x)dx=18，所以，\int_{-1}^{1}f(x)dx=6\\\\ &\ \ (2)\ 根据(1)结果，\int_{-1}^{1}f(x)dx=6，得\int_{1}^{-1}f(x)dx=-6，又根据定积分性质2，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int_{1}^{3}f(x)dx=\int_{1}^{-1}f(x)dx+\int_{-1}^{3}f(x)dx=-6+4=-2\\\\ &\ \ (3)\ 因为\int_{-1}^{3}g(x)dx=3，所以，\int_{3}^{-1}g(x)dx=-3\\\\ &\ \ (4)\ \int_{-1}^{3}\frac{1}{5}[4f(x)+3g(x)]dx=\frac{4}{5}\int_{-1}^{3}f(x)dx+\frac{3}{5}\int_{-1}^{3}g(x)dx=\frac{16}{5}+\frac{9}{5}=5 & \end{aligned} (1) 因为∫−113f(x)dx=18，即3∫−11f(x)dx=18，所以，∫−11f(x)dx=6 (2) 根据(1)结果，∫−11f(x)dx=6，得∫1−1f(x)dx=−6，又根据定积分性质2， 得∫13f(x)dx=∫1−1f(x)dx+∫−13f(x)dx=−6+4=−2 (3) 因为∫−13g(x)dx=3，所以，∫3−1g(x)dx=−3 (4) ∫−1351[4f(x)+3g(x)]dx=54∫−13f(x)dx+53∫−13g(x)dx=516+59=5
8. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力。已知闸门上水的压强 p 与水深 h 存在函数关系， 且有 p = 9.8 h k N / m 2 . 若闸门高 H = 3 m ，宽 L = 2 m ，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力 P 。 \begin{aligned}&8. \ 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力。已知闸门上水的压强p与水深h存在函数关系，\\\\&\ \ \ \ 且有p=9.8h\ kN/m^2.若闸门高H=3m，宽L=2m，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P。&\end{aligned} 8. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力。已知闸门上水的压强p与水深h存在函数关系， 且有p=9.8h kN/m2.若闸门高H=3m，宽L=2m，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P。
解：
在区间 [ 0 , 3 ] 上插入 n − 1 个分点， 0 < h 0 < h 1 < ⋅ ⋅ ⋅ < h n = 3 ，取 ξ i ∈ [ h i − 1 , h i ] ，记 Δ h i = h i − h i − 1 ，得闸门所受 水压力的近似值为 ∑ i = 1 n p ( ξ i ) 2 Δ h i ，根据定积分的定义可知，闸门所受水压力为 P = ∫ 0 3 2 p ( h ) d h = 19.6 ∫ 0 3 h d h ， 因为被积函数连续，且连续函数是可积的，因此为了方便计算，对区间 [ 0 , 3 ] 进行 n 等分，取 ξ i 为小区间的 端点 h i = 3 i n ，得 ∫ 0 3 h d h = lim n → ∞ ∑ i = 1 n 9 i n 2 = lim n → ∞ 9 ( n + 1 ) 2 n = 9 2 ，所以， P = 19.6 ∫ 0 3 h d h = 88.2 k N \begin{aligned} &\ \ 在区间[0, \ 3]上插入n-1个分点，0 \lt h_0 \lt h_1 \lt \cdot\cdot\cdot \lt h_n=3，取\xi_i \in [h_{i-1}, \ h_i]，记\Delta h_i=h_i-h_{i-1}，得闸门所受\\\\ &\ \ 水压力的近似值为\sum_{i=1}^{n}p(\xi_i)2\Delta h_i，根据定积分的定义可知，闸门所受水压力为P=\int_{0}^{3}2p(h)dh=19.6\int_{0}^{3}hdh，\\\\ &\ \ 因为被积函数连续，且连续函数是可积的，因此为了方便计算，对区间[0, \ 3]进行n等分，取\xi_i为小区间的\\\\ &\ \ 端点h_i=\frac{3i}{n}，得\int_{0}^{3}hdh=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{9i}{n^2}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{9(n+1)}{2n}=\frac{9}{2}，所以，P=19.6\int_{0}^{3}hdh=88.2 kN & \end{aligned} 在区间[0, 3]上插入n−1个分点，0<h0<h1<⋅⋅⋅<hn=3，取ξi∈[hi−1, hi]，记Δhi=hi−hi−1，得闸门所受 水压力的近似值为i=1∑np(ξi)2Δhi，根据定积分的定义可知，闸门所受水压力为P=∫032p(h)dh=19.6∫03hdh， 因为被积函数连续，且连续函数是可积的，因此为了方便计算，对区间[0, 3]进行n等分，取ξi为小区间的 端点hi=n3i，得∫03hdh=n→∞limi=1∑nn29i=n→∞lim2n9(n+1)=29，所以，P=19.6∫03hdh=88.2kN
9. 证明定积分的性质： \begin{aligned}&9. \ 证明定积分的性质：&\end{aligned} 9. 证明定积分的性质：
( 1 ) ∫ a b k f ( x ) d x = k ∫ a b f ( x ) d x ( k 是常数 ) ； ( 2 ) ∫ a b 1 ⋅ d x = ∫ a b d x = b − a . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx\ (k是常数)；\\\\ &\ \ (2)\ \ \int_{a}^{b}1\cdot dx=\int_{a}^{b}dx=b-a. & \end{aligned} (1) ∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx (k是常数)； (2) ∫ab1⋅dx=∫abdx=b−a.
解：
( 1 ) 根据定积分的定义，在区间 [ a , b ] 中插入 n − 1 个点 a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋅ ⋅ ⋅ < x n = b ，记 Δ x i = x i − x i − 1 ， 任取 ξ i ∈ [ x i − 1 , x i ] ，得 ∫ a b k f ( x ) d x = lim λ → 0 ∑ i = 1 n k f ( ξ i ) Δ x i = k lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i = k ∫ a b f ( x ) d x ( 2 ) ∫ a b 1 ⋅ d x = lim λ → 0 ∑ i = 1 n Δ x i = lim λ → 0 ( b − a ) = b − a \begin{aligned} &\ \ (1)\ 根据定积分的定义，在区间[a, \ b]中插入n-1个点a=x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \cdot\cdot\cdot \lt x_n=b，记\Delta x_i=x_i-x_{i-1}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 任取\xi_i \in [x_{i-1}, \ x_i]，得\int_{a}^{b}kf(x)dx=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}kf(\xi_i)\Delta x_i=k\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i=k\int_{a}^{b}f(x)dx\\\\ &\ \ (2)\ \int_{a}^{b}1\cdot dx=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}\Delta x_i=\lim_{\lambda \rightarrow 0}(b-a)=b-a & \end{aligned} (1) 根据定积分的定义，在区间[a, b]中插入n−1个点a=x0<x1<x2<⋅⋅⋅<xn=b，记Δxi=xi−xi−1， 任取ξi∈[xi−1, xi]，得∫abkf(x)dx=λ→0limi=1∑nkf(ξi)Δxi=kλ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi=k∫abf(x)dx (2) ∫ab1⋅dx=λ→0limi=1∑nΔxi=λ→0lim(b−a)=b−a
10. 估计下列各积分得值： \begin{aligned}&10. \ 估计下列各积分得值：&\end{aligned} 10. 估计下列各积分得值：
( 1 ) ∫ 1 4 ( x 2 + 1 ) d x ； ( 2 ) ∫ π 4 5 4 π ( 1 + s i n 2 x ) d x ； ( 3 ) ∫ 1 3 3 x a r c t a n x d x ； ( 4 ) ∫ 2 0 e x 2 − x d x . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \int_{1}^{4}(x^2+1)dx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi}(1+sin^2\ x)dx；\\\\ &\ \ (3)\ \ \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}\ xarctan\ xdx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ \int_{2}^{0}e^{x^2-x}dx.\\\\ & \end{aligned} (1) ∫14(x2+1)dx； (2) ∫4π45π(1+sin2 x)dx； (3) ∫313 xarctan xdx； (4) ∫20ex2−xdx.
解：
( 1 ) 在区间 [ 1 , 4 ] 上， 2 ≤ x 2 + 1 ≤ 17 ，所以， ∫ 1 4 2 d x ≤ ∫ 1 4 ( x 2 + 1 ) d x ≤ ∫ 1 4 17 d x ，即 6 ≤ ∫ 1 4 ( x 2 + 1 ) d x ≤ 51 ( 2 ) 在区间 [ π 4 , 5 4 π ] 上， 1 ≤ 1 + s i n 2 x ≤ 2 ，所以， ∫ π 4 5 4 π d x ≤ ∫ π 4 5 4 π ( 1 + s i n 2 x ) d x ≤ ∫ π 4 5 4 π 2 d x ， 即 π ≤ ∫ π 4 5 4 π ( 1 + s i n 2 x ) d x ≤ 2 π ( 3 ) 在区间 [ 1 3 , 3 ] 上， f ( x ) = x a r c t a n x 是单调增加的，得 f ( 1 3 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( 3 ) ， 即 1 6 3 π ≤ x a r c t a n x ≤ 1 3 π ，所以， ∫ 1 3 3 1 6 3 π d x ≤ ∫ 1 3 3 x a r c t a n x d x ≤ ∫ 1 3 3 1 3 π d x ， 即 1 9 π ≤ ∫ 1 3 3 x a r c t a n x d x ≤ 2 3 π ( 4 ) 设 f ( x ) = x 2 − x ， x ∈ [ 0 , 2 ] ，则 f ′ ( x ) = 2 x − 1 ， f ( x ) 在 [ 0 , 2 ] 上的最大值为 f ( 2 ) = 2 ，最小值为 f ( 1 2 ) = − 1 4 ， 得 ∫ 0 2 e − 1 4 d x ≤ ∫ 0 2 e x 2 − x d x ≤ ∫ 0 2 e 2 d x ，即 2 e − 1 4 ≤ ∫ 0 2 e x 2 − x d x ≤ 2 e 2 ，所以， − 2 e 2 ≤ ∫ 2 0 e x 2 − x d x ≤ − 2 e − 1 4 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 在区间[1, \ 4]上，2 \le x^2+1 \le 17，所以，\int_{1}^{4}2dx \le \int_{1}^{4}(x^2+1)dx \le \int_{1}^{4}17dx，即6 \le \int_{1}^{4}(x^2+1)dx \le 51\\\\ &\ \ (2)\ 在区间\left[\frac{\pi}{4}, \ \frac{5}{4}\pi\right]上，1 \le 1+sin^2\ x \le 2，所以，\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi}dx \le \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi}(1+sin^2\ x)dx \le \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi}2dx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 即\pi \le \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi}(1+sin^2\ x)dx \le 2\pi\\\\ &\ \ (3)\ 在区间\left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \ \sqrt{3}\right]上，f(x)=xarctan\ x是单调增加的，得f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \le f(x) \le f(\sqrt{3})，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 即\frac{1}{6\sqrt{3}}\pi \le xarctan\ x \le \frac{1}{\sqrt{3}}\pi，所以，\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}\frac{1}{6\sqrt{3}}\pi dx \le \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}\ xarctan\ xdx \le \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{3}}\pi dx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 即\frac{1}{9}\pi \le \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}\ xarctan\ xdx \le \frac{2}{3}\pi\\\\ &\ \ (4)\ 设f(x)=x^2-x，x \in [0, \ 2]，则f'(x)=2x-1，f(x)在[0, \ 2]上的最大值为f(2)=2，最小值为f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int_{0}^{2}e^{-\frac{1}{4}}dx \le \int_{0}^{2}e^{x^2-x}dx \le \int_{0}^{2}e^2dx，即2e^{-\frac{1}{4}} \le \int_{0}^{2}e^{x^2-x}dx \le 2e^2，所以，-2e^2 \le \int_{2}^{0}e^{x^2-x}dx \le -2e^{-\frac{1}{4}} & \end{aligned} (1) 在区间[1, 4]上，2≤x2+1≤17，所以，∫142dx≤∫14(x2+1)dx≤∫1417dx，即6≤∫14(x2+1)dx≤51 (2) 在区间[4π, 45π]上，1≤1+sin2 x≤2，所以，∫4π45πdx≤∫4π45π(1+sin2 x)dx≤∫4π45π2dx， 即π≤∫4π45π(1+sin2 x)dx≤2π (3) 在区间[31, 3]上，f(x)=xarctan x是单调增加的，得f(31)≤f(x)≤f(3)， 即631π≤xarctan x≤31π，所以，∫313631πdx≤∫313 xarctan xdx≤∫31331πdx， 即91π≤∫313 xarctan xdx≤32π (4) 设f(x)=x2−x，x∈[0, 2]，则f′(x)=2x−1，f(x)在[0, 2]上的最大值为f(2)=2，最小值为f(21)=−41， 得∫02e−41dx≤∫02ex2−xdx≤∫02e2dx，即2e−41≤∫02ex2−xdx≤2e2，所以，−2e2≤∫20ex2−xdx≤−2e−41
11. 设 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上连续，证明 ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x ≥ ( ∫ 0 1 f ( x ) d x ) 2 \begin{aligned}&11. \ 设f(x)在[0, \ 1]上连续，证明\int_{0}^{1}f^2(x)dx \ge \left(\int_{0}^{1}f(x)dx\right)^2&\end{aligned} 11. 设f(x)在[0, 1]上连续，证明∫01f2(x)dx≥(∫01f(x)dx)2
解：
记 a = ∫ 0 1 f ( x ) d x ，根据定积分性质 5 ，得 ∫ 0 1 [ f ( x ) − a ] 2 d x ≥ 0 ，即 ∫ 0 1 [ f ( x ) − a ] 2 d x = ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x − 2 a ∫ 0 1 f ( x ) d x + a 2 = ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x − ( ∫ 0 1 f ( x ) d x ) 2 ≥ 0 \begin{aligned} &\ \ 记a=\int_{0}^{1}f(x)dx，根据定积分性质5，得\int_{0}^{1}[f(x)-a]^2dx \ge 0，即\int_{0}^{1}[f(x)-a]^2dx=\\\\ &\ \ \int_{0}^{1}f^2(x)dx-2a\int_{0}^{1}f(x)dx+a^2=\int_{0}^{1}f^2(x)dx-\left(\int_{0}^{1}f(x)dx\right)^2 \ge 0 & \end{aligned} 记a=∫01f(x)dx，根据定积分性质5，得∫01[f(x)−a]2dx≥0，即∫01[f(x)−a]2dx= ∫01f2(x)dx−2a∫01f(x)dx+a2=∫01f2(x)dx−(∫01f(x)dx)2≥0
12. 设 f ( x ) 及 g ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，证明： \begin{aligned}&12. \ 设f(x)及g(x)在[a, \ b]上连续，证明：&\end{aligned} 12. 设f(x)及g(x)在[a, b]上连续，证明：
( 1 ) 若在 [ a , b ] 上， f ( x ) ≥ 0 ，且 f ( x ) ≢ 0 ，则 ∫ a b f ( x ) d x > 0 ； ( 2 ) 若在 [ a , b ] 上， f ( x ) ≥ 0 ，且 ∫ a b f ( x ) d x = 0 ，则在 [ a , b ] 上 f ( x ) ≡ 0 ； ( 3 ) 若在 [ a , b ] 上， f ( x ) ≤ g ( x ) ，且 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b g ( x ) d x ，则在 [ a , b ] 上 f ( x ) ≡ g ( x ) . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 若在[a, \ b]上，f(x) \ge 0，且f(x) \not\equiv 0，则\int_{a}^{b}f(x)dx \gt 0；\\\\ &\ \ (2)\ \ 若在[a, \ b]上，f(x) \ge 0，且\int_{a}^{b}f(x)dx=0，则在[a, \ b]上f(x) \equiv 0；\\\\ &\ \ (3)\ \ 若在[a, \ b]上，f(x) \le g(x)，且\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx，则在[a, \ b]上f(x) \equiv g(x). & \end{aligned} (1) 若在[a, b]上，f(x)≥0，且f(x)≡0，则∫abf(x)dx>0； (2) 若在[a, b]上，f(x)≥0，且∫abf(x)dx=0，则在[a, b]上f(x)≡0； (3) 若在[a, b]上，f(x)≤g(x)，且∫abf(x)dx=∫abg(x)dx，则在[a, b]上f(x)≡g(x).
解：
( 1 ) 根据已知条件，存在 x 0 ∈ [ a , b ] ，使得 f ( x 0 ) > 0 ，由 f ( x ) 在 x 0 连续可知，存在 a ≤ α ≤ β ≤ b ， 使得当 x ∈ [ α , β ] 时， f ( x ) ≥ f ( x 0 ) 2 ，因此， ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a α f ( x ) d x + ∫ α β f ( x ) d x + ∫ β b f ( x ) d x ， 由定积分性质得， ∫ a α f ( x ) d x ≥ 0 ， ∫ α β f ( x ) d x ≥ ∫ α β f ( x 0 ) 2 d x = β − α 2 f ( x 0 ) > 0 ， ∫ β b f ( x ) d x ≥ 0 ， 所以， ∫ a b f ( x ) d x > 0 ( 2 ) 如果 f ( x ) ≢ 0 ，根据（ 1 ）结果得 ∫ a b f ( x ) d x > 0 ，与已知条件矛盾，所以， f ( x ) ≡ 0 ( 3 ) 令 h ( x ) = g ( x ) − f ( x ) ≥ 0 ，且 ∫ a b h ( x ) d x = ∫ a b g ( x ) d x − ∫ a b f ( x ) d x = 0 ，根据（ 2 ）结果可得在 [ a , b ] 上， h ( x ) ≡ 0 ，则 f ( x ) ≡ g ( x ) \begin{aligned} &\ \ (1)\ 根据已知条件，存在x_0 \in [a, \ b]，使得f(x_0) \gt 0，由f(x)在x_0连续可知，存在a \le \alpha \le \beta \le b，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 使得当x \in [\alpha, \ \beta]时，f(x) \ge \frac{f(x_0)}{2}，因此，\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{\alpha}f(x)dx+\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx+\int_{\beta}^{b}f(x)dx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 由定积分性质得，\int_{a}^{\alpha}f(x)dx \ge 0，\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx \ge \int_{\alpha}^{\beta}\frac{f(x_0)}{2}dx=\frac{\beta-\alpha}{2}f(x_0) \gt 0，\int_{\beta}^{b}f(x)dx \ge 0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以，\int_{a}^{b}f(x)dx \gt 0\\\\ &\ \ (2)\ 如果f(x) \not\equiv 0，根据（1）结果得\int_{a}^{b}f(x)dx \gt 0，与已知条件矛盾，所以，f(x) \equiv 0\\\\ &\ \ (3)\ 令h(x)=g(x)-f(x) \ge 0，且\int_{a}^{b}h(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx-\int_{a}^{b}f(x)dx=0，根据（2）结果可得在[a, \ b]上，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ h(x) \equiv 0，则f(x) \equiv g(x) & \end{aligned} (1) 根据已知条件，存在x0∈[a, b]，使得f(x0)>0，由f(x)在x0连续可知，存在a≤α≤β≤b， 使得当x∈[α, β]时，f(x)≥2f(x0)，因此，∫abf(x)dx=∫aαf(x)dx+∫αβf(x)dx+∫βbf(x)dx， 由定积分性质得，∫aαf(x)dx≥0，∫αβf(x)dx≥∫αβ2f(x0)dx=2β−αf(x0)>0，∫βbf(x)dx≥0， 所以，∫abf(x)dx>0 (2) 如果f(x)≡0，根据（1）结果得∫abf(x)dx>0，与已知条件矛盾，所以，f(x)≡0 (3) 令h(x)=g(x)−f(x)≥0，且∫abh(x)dx=∫abg(x)dx−∫abf(x)dx=0，根据（2）结果可得在[a, b]上， h(x)≡0，则f(x)≡g(x)
13. 根据定积分的性质及第 12 题的结论，说明下列各对积分中哪一个的值较大： \begin{aligned}&13. \ 根据定积分的性质及第12题的结论，说明下列各对积分中哪一个的值较大：&\end{aligned} 13. 根据定积分的性质及第12题的结论，说明下列各对积分中哪一个的值较大：
( 1 ) ∫ 0 1 x 2 d x 还是 ∫ 0 1 x 3 d x ？ ( 2 ) ∫ 1 2 x 2 d x 还是 ∫ 1 2 x 3 d x ？ ( 3 ) ∫ 1 2 l n x d x 还是 ∫ 1 2 ( l n x ) 2 d x ？ ( 4 ) ∫ 0 1 x d x 还是 ∫ 0 1 l n ( 1 + x ) d x ？ ( 5 ) ∫ 0 1 e x d x 还是 ∫ 0 1 ( 1 + x ) d x ？ \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \int_{0}^{1}x^2dx还是\int_{0}^{1}x^3dx？\\\\ &\ \ (2)\ \ \int_{1}^{2}x^2dx还是\int_{1}^{2}x^3dx？\\\\ &\ \ (3)\ \ \int_{1}^{2}ln\ xdx还是\int_{1}^{2}(ln\ x)^2dx？\\\\ &\ \ (4)\ \ \int_{0}^{1}xdx还是\int_{0}^{1}ln(1+x)dx？\\\\ &\ \ (5)\ \ \int_{0}^{1}e^xdx还是\int_{0}^{1}(1+x)dx？ & \end{aligned} (1) ∫01x2dx还是∫01x3dx？ (2) ∫12x2dx还是∫12x3dx？ (3) ∫12ln xdx还是∫12(ln x)2dx？ (4) ∫01xdx还是∫01ln(1+x)dx？ (5) ∫01exdx还是∫01(1+x)dx？
解：
( 1 ) 在区间 [ 0 , 1 ] 上， x 2 ≥ x 3 ，因此， ∫ 0 1 x 2 d x 较大。 ( 2 ) 在区间 [ 1 , 2 ] 上， x 2 ≤ x 3 ，因此， ∫ 1 2 x 3 d x 较大。 ( 3 ) 在区间 [ 1 , 2 ] 上，因为 0 ≤ l n x ≤ 1 ，得 l n x ≥ ( l n x ) 2 ，因此， ∫ 1 2 l n x d x 较大。 ( 4 ) 当 x > 0 时， l n ( 1 + x ) < x ，因此， ∫ 0 1 x d x 较大。 ( 5 ) 当 x > 0 时， l n ( 1 + x ) < x ，则 1 + x < e x ，因此， ∫ 0 1 e x d x 较大。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 在区间[0, \ 1]上，x^2 \ge x^3，因此，\int_{0}^{1}x^2dx较大。\\\\ &\ \ (2)\ 在区间[1, \ 2]上，x^2 \le x^3，因此，\int_{1}^{2}x^3dx较大。\\\\ &\ \ (3)\ 在区间[1, \ 2]上，因为0 \le ln\ x \le 1，得ln\ x \ge (ln\ x)^2，因此，\int_{1}^{2}ln\ xdx较大。\\\\ &\ \ (4)\ 当x \gt 0时，ln(1+x) \lt x，因此，\int_{0}^{1}xdx较大。\\\\ &\ \ (5)\ 当x \gt 0时，ln(1+x) \lt x，则1+x \lt e^x，因此，\int_{0}^{1}e^xdx较大。 & \end{aligned} (1) 在区间[0, 1]上，x2≥x3，因此，∫01x2dx较大。 (2) 在区间[1, 2]上，x2≤x3，因此，∫12x3dx较大。 (3) 在区间[1, 2]上，因为0≤ln x≤1，得ln x≥(ln x)2，因此，∫12ln xdx较大。 (4) 当x>0时，ln(1+x)<x，因此，∫01xdx较大。 (5) 当x>0时，ln(1+x)<x，则1+x<ex，因此，∫01exdx较大。
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