数学建模 -- 灰色预测模型

主要内容：

1. 灰色预测的概念
2. 灰色生成数列
3. 灰色关联度分析
4. 灰色模型GM
5. 灰色预测实例

灰色预测模型在数学建模中典型的应用：

• 2003A        SARS的传播问题
• 2005A         长江水质的评价和预测
• 2006A         出版社的资源分配
• 2006B          艾滋病疗法的评价及疗效的预测问题
• 2007A          中国人口增长预测

 预测算法：微分方程、灰色预测、差分方程、马尔可夫预测、时间序列、插值拟合、神经元网络

1.灰色预测的概念

灰色系统理论是人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。灰色系统的应用范畴大致可以分为以下几个方面：

• 灰色关联分析
• 灰色预测：人口预测、灾变预测...
• 灰色决策
• 灰色预测控制

1.1灰色系统、白色系统和黑色系统

• 白色系统：指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的
• 黑色系统：一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以预测研究。
• 灰色系统：系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并可对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

灰色预测法用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

灰色预测的四种常见类型：

• 灰色时间序列预测：预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间
• 畸变预测：通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内
• 系统预测：通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
• 拓扑预测：将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。

2.灰色生成数列

灰色关联度：

数据的生成方式有累加生成、累减生成、加权生成。

3.灰色模型GM

灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。

G：grey          M:model

一定要进行第一步，数据的检验与处理，加上一句话“经过数列的级比检验”，可以进行灰色预测

基本步骤：

1. 数据的检验预处理
2. 建立GM(1,1)模型
3. 检验预测值：残差检验、级比偏差值检验