【线性代数基础进阶】行列式-补充+练习

爪型行列式

爪型行列式的标准形式，即行列式的主对角线有值，第一行、第一列剩余位置为$1$，其他位置为$0$，形如
D = ∣ a 0 1 1 ⋯ 1 1 a 1 0 ⋯ 0 1 0 a 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 0 0 ⋯ a n ∣ D=

D=∣ ∣​a0​11⋮1​1a1​0⋮0​10a2​⋮0​⋯⋯⋯⋯​100⋮an​​∣ ∣​
计算爪型行列式时，通常利用提公因式的方法，除第一行外，每行都把因子为$a_i$提到行列式外，再将其转化为三角行列式，即
$$\begin{array}{rl}D& =a_1{a}_2\cdots a_n\left|\begin{array}{ccccc}{a}_0& 1& 1& \cdots & 1\\ \frac{1}{a_1}& 1& 0& \cdots & 0\\ \frac{1}{a_2}& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{1}{a_n}& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right|\\ & =\prod _{i=1}^n{a}_i\left|\begin{array}{ccccc}{a}_0-\sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i}& 0& 0& \cdots & 0\\ \frac{1}{a_1}& 1& 0& \cdots & 0\\ \frac{1}{a_2}& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{1}{a_n}& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right|\\ & =\prod _{i=1}^n{a}_i(a_0-\sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i})\end{array}$$
只要行列式除了主对角线上的元素外，其他各列的元素都相同，就可以每行减去第一行，转化为爪型行列式，形如
D = ∣ x 1 a 2 a 3 a 4 a 1 x 2 a 3 a 4 a 1 a 2 x 3 a 4 a 1 a 2 a 3 x 4 ∣ = ∣ x 1 a 2 a 3 a 4 a 1 − x 1 x 2 − a 2 0 0 a 1 − x 1 0 x 3 − a 3 0 a 1 − x 1 0 0 x 4 − a 4 ∣ D=

∣∣∣∣∣∣x1a1a1a1a2x2a2a2a3a3x3a3a4a4a4x4∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣x1a1−x1a1−x1a1−x1a2x2−a200a30x3−a30a400x4−a4∣∣∣∣∣∣

D=∣ ∣​x1​a1​a1​a1​​a2​x2​a2​a2​​a3​a3​x3​a3​​a4​a4​a4​x4​​∣ ∣​=∣ ∣​x1​a1​−x1​a1​−x1​a1​−x1​​a2​x2​−a2​00​a3​0x