一、树的概念及结构

1、树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成的一个具有层次关系的集合；它被称为树因为其看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

树有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点；除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树；每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继；因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树，而是另外一种数据结构 – 图。

2、树的相关名词

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A节点的度为6 ；

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点；

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点；

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点；

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点；

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点；

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6；

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4；

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点；

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先；

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙；

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

3、树的表示

树结构相对线性表比较复杂，要存储表示起来比较麻烦，不仅需要保存值域，还要保存结点和结点之间的关系；实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等；其中最常用的表示法为：孩子兄弟表示法 (左孩子右兄弟表示法)。

typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* firstChild1;   //存放第一个孩子结点的地址
	struct Node* pNextBrother;  //存放下一个兄弟结点的地址
	DataType data;    //结点中的数据域
};
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4、树在实际生活中的应用

树在我们实际生活中的应用之一就是用于表示文件系统的目录：

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二、二叉树的概念及结构

1、二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合由一个根节点加上两棵分别称为左子树和右子树的二叉树组成，该集合也可能为空。

从上图可以看出，二叉树有以下特点：

1、二叉树不存在度大于2的结点；

2、二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树；

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

ps：现实中的二叉树：

2、特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树；也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2^K-1，则它就是满二叉树。

完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的；对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树；要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3、二叉树的性质

任意层数的最大节点数: 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点；

最大节点数: 若规定根节点的层数为1，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2^h-1；

叶节点数和度为2的分支节点数的关系: 对任何一棵二叉树, 如果度为0的叶结点个数为 n , 度为2的分支结点个数为 m，则有 n = m + 1，即二叉树的叶节点数始终比度为2的分支节点数多1；

解析：如下图所示

当二叉树之有一个节点时，叶节点数为1，度为2的分支节点数为0；此时叶节点数比度为2的分支节点数多1；

当我们增加一个度为1的分支节点时，会消耗一个叶节点，但是同时又会产生一个新的叶节点；所以增加度为1的分支节点时叶节点数量不变；

当我们增加一个度为2的分支节点时，我们会同时产生一个叶节点；所以叶节点数始终比度为2的分支节点数多1；

树的深度: 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度为：h= log (n+1)； ( log以2为底)

顺序存储中父节点和子节点的位置关系: 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于下标为 i 的结点有：

如果 i == 0，则该节点为根节点，无父节点；如果 i > 0，则其父节点的下标为：(i-1) / 2；

其左孩子的下标为 2i + 1，如果 2i + 1 < n，说明该节点不是叶节点，存在子节点；如果 2i + 1 > n，说明该节点是叶节点，不存在子节点；

其右孩子的下标为 2i + 2，如果 2i + 2 < n，说明该节点不是叶节点，存在子节点；如果 2i + 2 > n，说明该节点是叶节点，不存在子节点；

二叉树性质相关选择题

1、某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

答案：B 根据上面的结论 – 叶节点数始终比度为2的分支节点数多1可以直接得出答案。

2、在具有 2N 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

A N

B N+1

C N-1

D N/2

答案：A 通过完全二叉树的概念我们知道，完全二叉树中只存在三种节点：度为2的节点、度为0的节点 (叶节点) 以及度为1的节点，其中度为1的节点要么不存在，要么只存在一个；那么我们就可以得到下面的式子：n + p + m = 2N (分别代表度为0 1 2)，又根据叶节点数始终比度为2的分支节点数多1，化简得：2n - 1 + p = 2N，因为2n 和 2N 都为偶数，所以度为1的节点只能是1，所以 n = N;

3、一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）

A 11

B 10

C 8

D 12

答案： B 我们知道，高度为 h 的完全二叉树的节点数为：N = 2^(h-1) ~ 2^(h) - 1，把531带入其中就可以得到答案。

4、二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构；

顺序存储：顺序结构存储就是使用数组来存储，这种存储结构一般只适合表示完全二叉树，因为其他二叉树用此结构存储有空间的浪费；而现实使用中只有堆才会使用数组来存储；二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

链式存储：二叉树的链式存储结构是指用链来表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系；通常是链表中每个结点由三个域组成：数据域和左右指针域；左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址；链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，三叉链会在高阶数据结构如红黑树中使用到。

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinTreeNode* pLeft;    // 指向当前节点左孩子
	struct BinTreeNode* pRight;   // 指向当前节点右孩子
	BTDataType _data;   // 当前节点值域
}

// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinTreeNode* pParent;   // 指向当前节点的双亲
	struct BinTreeNode* pLeft;     // 指向当前节点左孩子
	struct BinTreeNode* pRight;    // 指向当前节点右孩子
	BTDataType data;   // 当前节点值域
}；
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三、链式二叉树的实现

1、结构的定义

//符号和结构的定义
typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;
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2、构建二叉树

由于二叉树不能进行增加和删除操作，所以一般都是给定一个字符串，该字符串中含有需要我们构建的二叉树的所有节点，我们通过读取字符串中的内容来构建二叉树。

注意：字符串中的 # 表示空树，即上一个节点没有左子树或右子树。

//通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int* pi)
{
	if (a[*pi] == '#')
	{
		(*pi)++;
		return NULL;
	}

	//创建根节点
	BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (root == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}
	root->data = a[*pi];
	(*pi)++;

	//创建左右子树
	root->left = BinaryTreeCreate(a, pi);
	root->right = BinaryTreeCreate(a, pi);

	return root;
}
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3、二叉树节点个数

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
	//左子树节点个数+右子树节点个数+根节点
	return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}
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4、二叉树叶节点个数

// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
	//没有子节点代表该节点为叶节点
	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
		return 1;
	//左子树叶节点个数+右子树叶节点个数
	return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}
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5、二叉树第K层节点个数

// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	assert(k > 0);
	if (root == NULL)
		return 0;
	if (k == 1)
		return 1;
	//转化为求第K-1层的节点个数
	return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}
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6、在二叉树中查找值为X的节点

// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
		return NULL;
	if (root->data == x)
		return root;
	//去左子树找，找到就返回
	BTNode* left = BinaryTreeFind(root->left, x);
	if (left != NULL)
		return left;
	//去右子树找，找到就返回
	BTNode* right = BinaryTreeFind(root->right, x);
	if (right != NULL)
		return right;
	//如果左右子树都没有，就返回空
	return NULL;
}
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7、二叉树前序遍历

二叉树一共有四种遍历方式：前序遍历、中序遍历、后序遍历以及层序遍历；

前序遍历：先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树；

中序遍历：先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树；

后序遍历：先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点；

层序遍历：按照二叉树的逻辑结构，先访问第一层层的所有节点，再访问第二层的所有节点，依次向下访问。

// 二叉树前序遍历
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	//先访问根，再访问左子树，最后访问右子树
	printf("%c ", root->data);
	BinaryTreePrevOrder(root->left);
	BinaryTreePrevOrder(root->right);
}
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8、二叉树中序遍历

// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	//先访问左子树，再访问根，最后访问右子树
	BinaryTreeInOrder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	BinaryTreeInOrder(root->right);
}
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9、二叉树后序遍历

// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	//先访问左子树，再访问右子树，最后访问根
	BinaryTreePostOrder(root->left);
	BinaryTreePostOrder(root->right);
	printf("%c ", root->data);
}
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10、二叉树层序遍历

区别其他三种遍历方式，层序遍历采用的是非递归，其具体思路是：

利用一个队列来存储二叉树节点的地址，先让父节点入队列，然后让父节点出队列，但是在父节点出队列的同时会让父节点的左右字孩子入队列 (如果没有左右孩子就不入)，这样就使得当这一层的节点全部出队列时，下一层的节点刚好全部入队列，最后当队列为空时，二叉树的节点就全部访问完了。

注意：1、由于我们需要队列来存储二叉树节点的地址，所以这里我们需要把我们之前写的队列 – Queue.h 和 Queue.c 添加到当前工程中；2、同时，我们需要将二叉树节点的结构体需要定义在队列结构体之前。

// 二叉树层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;

	//将节点的地址存储在队列中，取出一个节点的同时将该节点的子节点入栈
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		//取出队顶的元素
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		printf("%c ", front->data);

		//将队顶元素的左右子节点入队列
		if (front->left)
			QueuePush(&q, front->left);
		if (front->right)
			QueuePush(&q, front->right);
	}
	QueueDestory(&q);
}
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11、判断二叉树是否是完全二叉树

我们知道，完全二叉树的前 h-1 层都是满二叉树，最后一层不一定是满二叉树，但是最后一层的节点必须是有序的；也就是说：当完全二叉树遇到空节点之后，后面就不会再出现节点，否则，就是非完全二叉树；

根据上面这个性质，我们可以利用层序遍历来判断二叉树是否为完全二叉树：对二叉树进行层序遍历，与普通层序遍历不同的是，当节点的孩子为空时，我们仍然入队列；当队顶的元素为空时，停止循环，检查队列中剩余的元素，如果剩余元素中存在非空节点，则不是完全二叉树，否则就是完全二叉树。

// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return false;
	//将节点的地址存储在队列中，取出一个节点的同时将该节点的子节点入栈
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		//取出队顶的元素
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);

		//当遇到data为空的节点时跳出循环
		if (front == NULL)
			break;

		//将队顶元素的左右子节点入队列
		QueuePush(&q, front->left);
		QueuePush(&q, front->right);
	}

	//遇到空以后，如果后面的节点全为空，则是完全二叉树；否则就是非完全二叉树
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (front != NULL)
		{
			QueueDestory(&q);
			return false;
		}
	}
	QueueDestory(&q);

	return true;  //前面没有返回说明是完全二叉树
}
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12、销毁二叉树

和带头双向循环链表一样，为了保持接口的一致性，这里我们不使用二级指针，使用需要函数调用者在函数外部手动将根节点置空。

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;

	//通过后序遍历来销毁节点
	BinaryTreeDestory(root->left);
	BinaryTreeDestory(root->right);
	free(root);  //此处置空不会影响外面，需要在外面进行置空
}
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四、完整代码

由于二叉树中还调用了队列，代码较多，所以这里我直接给出码云仓库的地址，需要完整代码的同学可以在上面自取：

BinaryTree/BinaryTree · 野猪佩奇/日常学习 - 码云 - 开源中国 (gitee.com)

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