命题逻辑的推理理论

1. 基本推理形式和蕴涵关系

1.1 基本推理形式

所谓推理，指的是从一组前提合乎逻辑地推理出结论的过程。在这里我们用命题公式来表达前提和结论。

定义：

设$G_1,G_2,...，G_n,H$是公式，称$H$是$G_1,G_2,...,G_n$的逻辑结果当且仅***当对任意解释$I$，如果$I$使得$G_1\wedge G_2\wedge ...\wedge G_n$为真，则$I$也会使H为真。记为$G_1,G_2,...,G_n\Rightarrow H$。**“$\Rightarrow$”称为蕴涵关系。此时称$G_1,G_2,...,G_n\Rightarrow H$为有效的，否则称为无效的。$G_1,G_2,...,G_n$称为一组前提，有时用集合$\Gamma$来表示，记为$\Gamma= {G_1, G_2,… ,G_n} $，$H$称为结论。此时也称$H$是前提集合$\Gamma$的逻辑结果。记为$\Gamma→H$。

公理：

公式$H$是前提集合 Γ = { G 1 , G 2 , . . . , G n } \Gamma = \{G_1,G_2,...,G_n\} Γ={G1​,G2​,...,Gn​}的逻辑结果当且仅当$(G_1\wedge G_2\wedge \dots \wedge G_n)\to H$为永真式。

判定方法：

• 真值表技术
• 公式转换关系
• 主析取范式法——永真式的主析取范式应该包含有所有的极小项

1.2 基本蕴涵关系

定理：

设 $G,H,I$ 为任意的命题公式。

(1) $I_1:G\wedge H\Rightarrow G;I_2:G\wedge H\Rightarrow H$. (简化规则)
(2) $I_3:G\Rightarrow G\vee H;I_4:H\Rightarrow G\vee H$. (添加规则)
(3) $I_5:I,H\Rightarrow G\wedge H$; (合取引入规则)
(4) $I_6:G\vee H,\neg G\Rightarrow H;I_7:G\vee H,\neg H\Rightarrow G$. (选言三段论)
(5) $I_8:G\to H,G\Rightarrow H$; (假言推理规则)
(6) $I_9:G\to H,\neg H\Rightarrow \neg G$; (否定后件式)
(7) $I_{10}:G\to H,H\to I\Rightarrow G\to I$; (假言三段论)
(8) $I_{11}:G\vee H,G\to I,H\to I\Rightarrow I$ (二难推论)

Example：

2. 基本演绎法

2.1 推理规则

规则P（称为前提引用规则）：在推导的过程中，可以随时引入前提集合中的任意一个前提。

规则T（称为逻辑结果引用规则）：在推导的过程中，可以随时引入公式S，该公式S是由其前的一个或者多个公式推导出来的逻辑结果。

规则CP（称为附加前提规则）：如果能从给定的前提集合$\Gamma$与公式P推导出来S，则能从前提集合$\Gamma$推导出来S。

2.2 演绎法推论

2.2.1 自然演绎法

定义：

从前提集合$\Gamma$推出结论$H$的一个演绎是构造命题公式的一个有限序列：$H_1,H_2,H_3,...,H_{n-1},H_n$。其中，$H_i$或者是$\Gamma$中的某个前提,或者是前面的某些$H_j(j<i)$的有效结论，并且$H$，就是$H$，则称公式H为该演绎的有效结论，或者称从前提$\Gamma$能够演绎出结论$H$来。

2.2.2 演绎

2.2.2.1 直接证明法

通常采用倒推的方式：

2.2.2.2 CP规则

2.2.2.3 间接证明法

反证法、归谬法

反证法可以认为是CP规则的一种变型。

2.3 推理的应用