8月算法训练------第十四天（数学）解题报告

题目类型：数学
题目难度：中等

第一题、剑指 Offer 14- I. 剪绳子

1. 题目链接：剑指 Offer 14- I. 剪绳子
2. 思路分析：
   本题要获得最大的乘积，经过理论推导，每一段要尽量分割成长度为3，所以要只需看能分割成几段3，就计算3的几次方。
   当余数为0时，直接返回3的n次方；
   当余数为1时，将返回3的n-1次方*4；
   当余数为2时，返回3的n次方*2；
3. 代码：

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n <= 3) return n-1;
        int a = n / 3, b = n % 3;
        if(b == 0) return (int)Math.pow(3, a);
        if(b == 1) return (int)Math.pow(3, a-1) * 4;
        return (int)Math.pow(3, a) * 2;
    }
}
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第二题、剑指 Offer 57 - II. 和为s的连续正数序列

1. 题目链接：剑指 Offer 57 - II. 和为s的连续正数序列
2. 思路分析：
   这一题简单思路就是算起始项为$a_1$，公差为1的等差数列前n项和。
   等差数列的前n项和公式：
   $$\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n=target$$
   将这个公式整理得：
   $$\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n-target=0$$
   而$a_1$可以根据循环枚举出来，根据二元一次方程求解公式：
   $$n=\frac{-b\pm \sqrt{(}{b}^2-4ac)}{2a}$$
   只要根是正整数，根据这个公式求出长度就能得到答案，将所有满足得答案排成二维数组返回。
3. 代码：

class Solution {
    public int[][] findContinuousSequence(int target) {
        List<int[]> res = new ArrayList<>();
        for(int a1 = 1; a1 <= target/2; a1++){
            double b = a1 - 0.5;
            double n = 0.5 - a1 + Math.pow(b*b+2*target, 0.5);
            if(n % 1 == 0){
                int[] mar = new int[(int)n];
                for(int i = (int)a1; i < (int)n + (int)a1; i++){
                    mar[i - (int)a1] = i;
                }
                res.add(mar);
            }
        }
        return res.toArray(new int[res.size()][]);
    }
}
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第三题、剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字

1. 题目链接：剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字
2. 思路分析：
   约瑟夫环问题，每次循环都在后面加上m然后再与i取余，当循环n-1次后就得到了答案。
3. 代码：

class Solution {
    public int lastRemaining(int n, int m) {
        int fin = 0;
        for(int i = 2; i != n+1; i++){
            fin = (fin + m) % i;
        }
        return fin;
    }
}
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