Transformation

2D 线性变换

• 线性变换：变换能够用矩阵乘法得到

可以说，Linear Transformation = Matrices (of the same dimension)

我们将如下所示的简单矩阵乘法定义为对向量 $(x,y{)}^T$ 的线性变换。
[ a 11 a 12 a 21 a 22 ] [ x y ] = [ a 11 x + a 12 y a 21 x + a 22 y ] \left[

\right]\left[\right]=\left[\right] [a11​a21​​a12​a22​​][xy​]=[a11​x+a12​ya21​x+a22​y​]

缩放 (scale)

缩放变换是一种沿着坐标轴作用的变换，定义如下:
scale ⁡ ( s x , s y ) = [ s x 0 0 s y ] \operatorname{scale}\left(s_{x}, s_{y}\right)=\left[

\right] scale(sx​,sy​)=[sx​0​0sy​​]
即除了 $(0,0{)}^T$ 保持不变之外，所有的点变为 ${\left(s_{x}x,s_{y}y\right)}^T$

剪切 (shearing)

shear 变换直观理解就是把物体一边固定，然后拉另外一边，定义如下:
s h e a r − x ( s ) = [ 1 s 0 1 ] , s h e a r − y ( s ) = [ 1 0 s 1 ] shear-x(s)=\left[

\right], \\shear-y (s)=\left[\right] shear−x(s)=[10​s1​],shear−y(s)=[1s​01​]

• 拉向 $x$ 轴

• 拉向 $y$ 轴

旋转 (rotation)

• 在无特殊说明的情况下，默认关于 $(0,0)$ 点，逆时针方向旋转 $\theta$ 角度（弧度）的公式如下

R θ = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] \mathbf{R}_{\theta}=\left[

\right] Rθ​=[cosθsinθ​−sinθcosθ​]

推导如下

齐次坐标

• 以上的线性变换矩阵不能描述平移变换，为了统一平移变换和线性变换（以上三种变换），引入平移变换

定义 2D 坐标和 2D向量如下

• 2D 坐标：$(x,y,1{)}^T$
• 2D 向量：$(x,y,0{)}^T$
  • 由于向量具有平移不变性，第3维的0保护了向量不会因为平移而改变

齐次坐标下向量和点的操作

• vector + vector = vector

• point – point = vector

• point + vector = point （一个点沿着向量移动）

• point + point = 两个点的中点

此外，当第三维为 $w(w\ne 0)$时，定义
( x y w )  is the  2 D  point  ( x / w y / w 1 ) , w ≠ 0 \left(

\right) \text { is the } 2 \mathrm{D} \text { point }\left(\right), w \neq 0 ⎝ ⎛​xyw​⎠ ⎞​ is the 2D point ⎝ ⎛​x/wy/w1​⎠ ⎞​,w=0

仿射变换

• 仿射变换使用一个矩阵统一了所有操作
• 先应用线性变换再应用平移变换

仿射变换下 2D 变换的描述

Scale

S ( s x , s y ) = ( s x 0 0 0 s y 0 0 0 1 ) \mathbf{S}\left(s_{x}, s_{y}\right)=\left(

\right) S(sx​,sy​)=⎝ ⎛​sx​00​0sy​0​001​⎠ ⎞​

Rotation

R ( α ) = ( cos ⁡ α − sin ⁡ α 0 sin ⁡ α cos ⁡ α 0 0 0 1 ) \mathbf{R}(\alpha)=\left(

\right) R(α)=⎝ ⎛​cosαsinα0​−sinαcosα0​001​⎠ ⎞​

Translation

T ( t x , t y ) = ( 1 0 t x 0 1 t y 0 0 1 ) \mathbf{T}\left(t_{x}, t_{y}\right)=\left(

\right) T(tx​,ty​)=⎝ ⎛​100​010​tx​ty​1​⎠ ⎞​

逆变换

• 使用逆矩阵
• ${\mathbf{M}}^{-1}$ is the inverse of transform $\mathbf{M}$ in both a matrix and geometric sense

复合变换

• 复杂变换可由简单变换得到
• 变换的顺序非常重要，如先旋转再平移和先平移再旋转得到的结果不同
• 矩阵变换不满足交换律
• 计算是右结合的

3D 线性变换

再次使用齐次坐标描述

• 3D point $=(x,y,z,1{)}^T$
• 3D vector $=(x,y,z,0{)}^T$
• In general, $(x,y,z,w)(w\ne 0)$ is the 3D point: $(x/w,y/w,z/w)$
  • e.g. $(1,0,0,1)$ and $(2,0,0,2)$ both represent $(1,0,0)$
• 先应用线性变换再应用平移变换

Use $4\times 4$ matrices for affine transformations
( x ′ y ′ z ′ 1 ) = ( a b c t x d e f t y g h i t z 0 0 0 1 ) ⋅ ( x y z 1 ) \left(

\right)=\left(\right) \cdot\left(\right) ⎝ ⎛​x′y′z′1​⎠ ⎞​=⎝ ⎛​adg0​beh0​cfi0​tx​ty​tz​1​⎠ ⎞​⋅⎝ ⎛​xyz1​⎠ ⎞​

Scale

S ( s x , s y , s z ) = ( s x 0 0 0 0 s y 0 0 0 0 s z 0 0 0 0 1 ) \mathbf{S}\left(s_{x}, s_{y}, s_{z}\right)=\left(

\right) S(sx​,sy​,sz​)=⎝ ⎛​sx​000​0sy​00​00sz​0​0001​⎠ ⎞​

Translation

T ( t x , t y , t z ) = ( 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 ) \mathbf{T}\left(t_{x}, t_{y}, t_{z}\right)=\left(

\right) T(tx​,ty​,tz​)=⎝ ⎛​1000​0100​0010​tx​ty​tz​1​⎠ ⎞​

? Rotation

• around $x-,y-$, or $z$-axis

• $\sin \alpha$ 的正负号由右手定则确定，顺序是 $x\to z$

  

R x ( α ) = ( 1 0 0 0 0 cos ⁡ α − sin ⁡ α 0 0 sin ⁡ α cos ⁡ α 0 0 0 0 1 ) R y ( α ) = ( cos ⁡ α 0 sin ⁡ α 0 0 1 0 0 − sin ⁡ α 0 cos ⁡ α 0 0 0 0 1 ) R z ( α ) = ( cos ⁡ α − sin ⁡ α 0 0 sin ⁡ α cos ⁡ α 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 )

Rx​(α)Ry​(α)Rz​(α)​=⎝ ⎛​1000​0cosαsinα0​0−sinαcosα0​0001​⎠ ⎞​=⎝ ⎛​cosα0−sinα0​0100​sinα0cosα0​0001​⎠ ⎞​=⎝ ⎛​cosαsinα00​−sinαcosα00​0010​0001​⎠ ⎞​​

• 所有的 3D 变换都可以被描述为在 $x,y,z$ 轴上的旋转
  • 也叫欧拉角
  • Often used in flight simulators: roll, pitch, yaw

$${\mathbf{R}}_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\mathbf{R}}_x(\alpha ){\mathbf{R}}_y(\beta ){\mathbf{R}}_z(\gamma )$$

Rodrigues’ Rotation Formula

Rotation by angle $\alpha$ around axis $n$
R ( n , α ) = cos ⁡ ( α ) I + ( 1 − cos ⁡ ( α ) ) n n T + sin ⁡ ( α ) ( 0 − n z n y n z 0 − n x − n y n x 0 ) ⏟ N \mathbf{R}(\mathbf{n}, \alpha)=\cos (\alpha) \mathbf{I}+(1-\cos (\alpha)) \mathbf{n} \mathbf{n}^{T}+\sin (\alpha) \underbrace{\left(

\right)}_{\mathbf{N}} R(n,α)=cos(α)I+(1−cos(α))nnT+sin(α)N ⎝ ⎛​0nz​−ny​​−nz​0nx​​ny​−nx​0​⎠ ⎞​​​

View / Camera Transformation

Think about how to take a photo

• Find a good place and arrange people (model transformation)
• Find a good “angle” to put the camera (view transformation)
• Cheese! (projection transformation 将三维空间投影到二维视图上）

Projection transformation

Orthographic projection

正则投影的步骤

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Fx3Pqwmp-1660291810051)(https://cdn.jsdelivr.net/gh/QiuHong-1202/FigureBed/2021/202208071729657.png)]

正则立方体

• map a cuboid $[l,r]\times [b,t]\times [f,n]$ to the “canonical (正则、规范、标准)” cube $[-1,1{]}^3$
  • 因为是朝着 $z$ 轴负方向看，所以坐标小的是更远的 $f$ ，坐标大的是更近的 $n$

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ZTM6RjtF-1660291810052)(https://cdn.jsdelivr.net/gh/QiuHong-1202/FigureBed/2021/202208071733145.png)]

正则投影的变换矩阵

Translate (center to origin) first, then scale (length/width/height to 2)
M ortho  = [ 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 n − f 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − r + l 2 0 1 0 − t + b 2 0 0 1 − n + f 2 0 0 0 1 ] M_{\text {ortho }}=\left[

\right]\left[\right] Mortho ​=⎣ ⎡​r−l2​000​0t−b2​00​00n−f2​0​0001​⎦ ⎤​⎣ ⎡​1000​0100​0010​−2r+l​−2t+b​−2n+f​1​⎦ ⎤​

Perspective projection

透视投影的步骤

• First “squish” the frustum into a cuboid $(n\to n,f\to f)(M_{persp\to ortho})$ （将远平面挤压为与近平面相同的大小）
  • 挤压规则
    • 近平面永远不变，任何点在近平面上不变
    • 远平面 $z$ 值不变，任何远平面上的点 $z$ 值不变
    • 远平面的中心不变
• Do orthographic projection ($M_{ortho}$) （做正则投影）

透视投影的变换矩阵推导

计算机图形学二：视图变换(坐标系转化，正交投影，透视投影，视口变换)

透视投影的变换矩阵

$${\mathrm{M}}_{\text{per }}={\mathrm{M}}_{\text{ortho }}{\mathrm{M}}_{\text{persp }\to \text{ ortho }}$$

M per  = [ 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 n − f 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − r + l 2 0 1 0 − t + b 2 0 0 1 − n + f 2 0 0 0 1 ] [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − f n 0 0 1 0 ] \mathrm{M}_{\text {per }}=\left[

\right]\left[\right] \left[\right] Mper ​=⎣ ⎡​r−l2​000​0t−b2​00​00n−f2​0​0001​⎦ ⎤​⎣ ⎡​1000​0100​0010​−2r+l​−2t+b​−2n+f​1​⎦ ⎤​⎣ ⎡​n000​0n00​00n+f1​00−fn0​⎦ ⎤​