《算法竞赛进阶指南》,USACO2008 通信线路

在郊区有 NN 座通信基站，PP 条 双向 电缆，第 ii 条电缆连接基站 AiAi 和 BiBi。

特别地，11 号基站是通信公司的总站，NN 号基站位于一座农场中。

现在，农场主希望对通信线路进行升级，其中升级第 ii 条电缆需要花费 LiLi。

电话公司正在举行优惠活动。

农产主可以指定一条从 11 号基站到 NN 号基站的路径，并指定路径上不超过 KK 条电缆，由电话公司免费提供升级服务。

农场主只需要支付在该路径上剩余的电缆中，升级价格最贵的那条电缆的花费即可。

求至少用多少钱可以完成升级。

输入格式

第 11 行：三个整数 N，P，KN，P，K。

第 2..P+12..P+1 行：第 i+1i+1 行包含三个整数 Ai,Bi,LiAi,Bi,Li。

输出格式

包含一个整数表示最少花费。

若 11 号基站与 NN 号基站之间不存在路径，则输出 −1−1。

数据范围

0≤K 1≤P≤100001≤P≤10000,
1≤Li≤10000001≤Li≤1000000

输入样例：

5 7 1
1 2 5
3 1 4
2 4 8
3 2 3
5 2 9
3 4 7
4 5 6

输出样例：

4

 

定义在[0, 1000001]性质如下
{
    对于区间的一个点x，找出最少经过的长度大于x的边的数量是否小于等于k
    进而二分出最少经过的长度大于x的边的数量大于k的最小值；
    问题一：如何判断是否可以二分：
    {
        假设答案为ans, 则他的定义为该最短路上长度大于ans的边的数量正好小于等于k
        假定任意一个数x > ans 则该最短路上长度大于ans的边的数量仍然是小于等于k的
        若x < ans 则该最短路上长度大于ans的边的数量仍然是大于k的（因为至少包含了ans）;
        所以可以二分
    }
    
    问题二：为何找的是最少经过的长度呢？
    {
        保证答案最小，假设该条路总共存在i条边，若选择最少经过的点
        则k可能大于i则答案为0，若此时不选择最少经过的长度答案可能大于0
    }
    
    问题三：为何不是从[1, 1000000]枚举而是从[0, 1000001]枚举呢？
    {
        当所选则的长度大于x的边的数量全都小于k是答案是0；
        当无解时长度输出应该是无法到达，即check函数一直是false, 边长一直在扩大，若
        边界为1000000则最终答案为1000000，但为1000000也可能是答案，所以要定义
        1000001表示无解
    }
}

求1到N至少经过几条长度大于x的边。
可以将所有边分类，长度小于等于x的边权定为0放入队头
长度大于x的边权定位1放入队尾 

#include 
#include 
#include 
#include 
 
using namespace std;
 
const int N = 1010, M = 20010;
 
int n, m, k;
bool st[N];
int dist[N];
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
 
void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b;
    w[idx] = c;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx;
    idx ++ ;
}
 
bool check(int bound)
{
    memset(st, false, sizeof st);
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    deque<int> q;
    dist[1] = 0;
    q.push_back(1);
    
    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop_front();
        
        if (st[t]) continue;
        st[t] = true;
        
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i], v = w[i] > bound;
            if (dist[j] > dist[t] + v)
            {
                dist[j] = dist[t] + v;
                if (!v) q.push_front(j);
                else q.push_back(j);
            }
        }
    }
    
    return dist[n] <= k;
}
 
int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    
    int l = 0, r = 1000001;
    while (l < r)//最终的答案为除去k条边之外的最小值不懂得建议去看两个二分模板：
    {            //https://blog.csdn.net/qq_61935738/article/details/125466959
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    
    if (r == 1000001) r = -1;
    cout << r << endl;
    
    return 0;
}