【数据结构】斐波那契数列优化

斐波那契数列简介：

• 第一个月：有 1 对兔子①
• 第二个月：兔子①进入成熟期，还是 1 对
• 第三个月：兔子①生了一对兔子②，第三个月就有 2 对兔子
• 第四个月：兔子①生了一对兔子③，兔子②进入成熟期，这个月有 3 对兔子
• 第五个月：兔子①生了一对兔子④，兔子②生了一对兔子⑤，兔子③进入成熟期，这个月有 5 对兔子
• 第六个月：兔子①生了一对兔子⑥，兔子②生了一对兔子⑦，兔子③生了一对兔子⑧，兔子④进入成熟期，兔子⑤进入成熟期，这个月二有 8 对兔子

公式：

想到斐波那契数列（兔子数列）就很容易想到递归算法

代码示例：

long long Fib(int n) {
    if (n < 0)  return -1;
 
    if (n == 1 || n == 2) return 1;
 
    return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
}

递归算法写起来比较简单，但当 n 较大时，时间复杂度太高了（重复运算了很多数据）。

所以这里为了避免这种爆炸式的增加，运用规律，从第三项开始，后一项等于前两项之和。

代码实例：

long long Fib(int n) {
    long long a = 1, b = 1, c = 0;
 
    if (n <= 0) return -1;
 
    if (n == 1 || n == 2) return 1;
 
    if (n > 2) {
        for (int i = 3; i <= n; ++i) {
            c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }
        return c;
    }
}

• 循环里的 a = b; b = c; 是什么意思 ？

这个方法通过更新值的方式不断往后计算，节省了空间和时间，参考下图：

下面还有一种方式，与上面的方式相似，但使用数组进行存储数据，访问数据的前两个数，将他们加起来，得到当前值。

代码示例：

long long Fib(int n) {
    long long temp = 0;
    long long* a = new long long[n + 1];
 
    a[1] = a[2] = 1;
 
    if (n <= 0) {
        return -1;
    }
    else {
        for (int i = 3; i <= n; ++i) {
            a[i] = a[i - 1] + a[i - 2];
        }
        temp = a[n];
    }
    delete[] a; 
    return temp;
}

• 创建一个 n + 1 大小的数组，为什么是 n + 1 ？

前两个数据 1 是确定的，n 为 1 时，就创建两个空间，防止下面 a[2] 越界，当然也可以对 n 进行分析判断。

• 临时变量 temp 的作用是什么 ？

temp 保存 a[n] 的值，是为了能在函数内销毁 new 出来的 a 空间（堆区空间）。

• for 循环条件怎么确定的？

可以从最简单的 3 开始理解，当 n == 3 时这个循环只能执行一次，将 i 的初始值定为 3 ，判断条件为 i <= n，让 i 递增，而数组要通过下标的方式访问，可以写成 i = (i - 1) + (i - 2)，随着 i 增加数据也不断往后移动。