E. Cross Swapping（并查集变形/好题）

题目
参考

题意

给定一个n*n的二维矩阵。
执行操作：选择$1<=k<=n，swap(a[i][k],a[k][i]),1<=i<=n$
比如当n=4，k=3时，转化后如右图所示。

对于上述操作，我们可以执行任意次，也可以是0次。
问，通过执行以上若干次，可以得到的字典序最小的二维数组是啥。

定义二维数组a的字典序为：
将二维数组a映射到一维数组b，映射规则 b[i*n+j] = a[i][j]
二维数组a1字典序小于二维数组a2，
当前仅当它们的映射b1 , b2满足
存在$i,b1[j]==b2[j],1<=j<i;b1[i]<b2[i]$

1<=n<=1000

思路

上述操作，本质上就是将a[x][y]和a[y][x]做交换。
当前仅当k取x或y时，会影响到a[x][y]和a[y][x]是否交换。
k可以取1到n。操作k 本质上就是交换第k行和第k列。
对于操作k，有两种选择，要么执行，要么不执行。

因此，我们发现：

• 当操作x和操作y 都执行，或者都不执行时，a[x][y]和a[y][x]没有做交换。
• 当操作x和操作y 一个执行，一个不执行时，a[x][y]和a[y][x]做了交换。

如下图，当前1,2操作都执行后，a[1][2]和a[2][1]没有交换；而只执行1操作，a[1][2]和a[2][1]发生了交换。

抓住上述规律后，我们再研究，怎么获取最小字典序的问题。
由于是对称的，我们只需要考虑一半，这里我们考虑所有元素a[i][j]，下标i<=j的场景。

• 如果a[i][j] < a[i][j]，那么此时不交换，比如a[1][2] < a[2][1]，这个时候交换后，字典序反倒变大了。不交换，则操作i和操作需要同步，要么都执行，要么都不执行。
• 如果a[i][j] > a[i][j]，那么此时交换。交换，则操作i和操作需要不同步，一个执行，另一个不执行
• 此外，由于字典序，是按行优先的，我们要行越小的元素，优先考虑交换/不交换。比如我们研究了a[1][2]是否需要交换后，再研究a[2][3]是否交换。因为a[1][2]排位比a[2][3]高。

得到这么些规律，有没有想到一个相关的数据结构–并查集。

• 把每个操作当成一个独立节点，初始时父节点是自己。
• 对于操作需要同号的，我们把它拉到一个集合去，用union操作。
• 对于操作需要异号的，我们也把它拉到一个集合去，但用正负来区分他们异号。
• 根据行优先，列次之，我们一一构建所有的操作边。
• 最终，把集合里边，为正的（负的）操作，去做执行，负的（正的）边不做执行。

详见代码

代码

#include 
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn = 1010;

int n;
int a[maxn][maxn];
int fa[maxn];

// 并查集初始化 
void init() {
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		fa[i] = i;
	}
}

// 并查集查找根节点 
int find1(int u) {
	if (u < 0) {// 负号 取反 
		return -find1(-u);
	}
	if (u == fa[u]) {
		return u;
	}
	// 查询过程中做合并 
	return fa[u] = find1(fa[u]);
}

// 并查集 将u, v拉到同个集合 这里u, v可为负数 
void union1(int u, int v) {
	u = find1(u);
	v = find1(v);
	if (abs(u) == abs(v)) {// 已经在同一个集合 
		return;
	}
	
	if (u < 0) {
		fa[-u] = -v;
	} else {
		fa[u] = v;
	}
}
void solve() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    	for (int j = 1; j <= n; ++j) {
    		scanf("%d", &a[i][j]);
		}
	}
	init();
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j = i; j <= n; ++j) {
			if (a[i][j] < a[j][i]) {// 同号 
				union1(i, j);
			} else if (a[i][j] > a[j][i]) {// 异号 
				union1(i, -j);
			}
		}
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		fa[i] = find1(i);
		if (fa[i] > 0) {// you can skip > 0, or skip < 0.
			continue;
		}
		for (int j = 1; j <= n; ++j) {
			swap(a[i][j], a[j][i]);
		}
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    	for (int j = 1; j < n; ++j) {
    		printf("%d ", a[i][j]);
		}
		printf("%d\n", a[i][n]);
	}
}

int main() {
    int t;
//	t = 1;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
		solve();
    }
}
/*

 */
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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最后

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