线性代数学习笔记6-4：行列式的应用（用伴随矩阵求逆矩阵、克莱姆法则解方程、行列式求面积/体积）

下面介绍行列式的三个具体应用，将会看到，行列式的数值常出现在求解其他问题公式中

回顾：今后遇到形如$\det (\mathbf{A})=a_{11}{\mathrm{C}}_{11}+a_{12}{\mathrm{C}}_{12}+\cdots +a_{1\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{1\mathrm{n}}$的式子（代数余子式的加权和），就应该联想到行列式

用伴随矩阵求逆矩阵

逆矩阵的公式：$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{{\mathbf{C}}^T}{|\mathbf{A}|}=\frac{{\mathbf{A}}^{\ast }}{|\mathbf{A}|}$$其中，分母是一个数字（行列式），分子是伴随矩阵（adjoint matrix）${\mathbf{A}}^{\ast }$
并且，伴随矩阵就是“代数余子式矩阵”（cofactor matrix）的转置：${\mathbf{A}}^{\ast }={\mathbf{C}}^T$，“代数余子式矩阵”的元素$C_{ij}$对应了矩阵元素$a_{ij}$的代数余子式（注意正负号）

逆矩阵公式的意义：当改变原矩阵中的一个元素时，可以看出这会给逆矩阵带来怎样的变化

证明：${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{{\mathbf{C}}^T}{|\mathbf{A}|}$

证明${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{{\mathbf{C}}^T}{|\mathbf{A}|}$，等价于证明：$$\mathbf{A}{\mathbf{C}}^T=\det (\mathbf{A})\mathbf{I}$$
具体而言就是证明： [ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ] [ C 11 ⋯ C n 1 ⋮ ⋱ ⋮ C 1 n ⋯ C n n ] = [ det ⁡ A 0 0 ⋯ 0 0 det ⁡ A 0 ⋯ 0 0 0 ⋱ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ det ⁡ A ] \left[a11⋯a1n⋮⋱⋮an1⋯ann

\right]\left[C11⋯Cn1⋮⋱⋮C1n⋯Cnn\right]=\left[detA00⋯00detA0⋯000⋱0⋮⋱⋮000⋯detA\right] ⎣ ⎡​a11​⋮an1​​⋯⋱⋯​a1n​⋮ann​​⎦ ⎤​⎣ ⎡​C11​⋮C1n​​⋯⋱⋯​Cn1​⋮Cnn​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​detA00⋮0​0detA00​00⋱0​⋯⋯⋱⋯​000⋮detA​⎦ ⎤​

• $\det (\mathbf{A})\mathbf{I}$的第$i$个对角线元素，来源于$\mathbf{A}$的第$i$行与${\mathbf{C}}^T$第$i$列的乘积，对应沿$\mathbf{A}$的第$i$行展开计算行列式：$\det (\mathbf{A})=a_{i1}{\mathrm{C}}_{i1}+a_{i2}{\mathrm{C}}_{i2}+\cdots +a_{i\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{i\mathrm{n}}$
• $\det (\mathbf{A})\mathbf{I}$的其余非对角元元素，来源于来源于$\mathbf{A}$的第$i$行与${\mathbf{C}}^T$第$j$列的乘积（$i\ne j$），此时相当于计算了另一个矩阵${\mathbf{A}}_s$的行列式：$\det ({\mathbf{A}}_{\mathbf{s}})=a_{i1}{\mathrm{C}}_{j1}+a_{i2}{\mathrm{C}}_{j2}+\cdots +a_{i\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{j\mathrm{n}}$，这是沿着${\mathbf{A}}_s$的第$i$行展开计算行列式，然而第$i$行又出现在代数余子式中（$i\ne j$），这就是说，${\mathbf{A}}_s$有两个相同的行，计算其行列式必然有$det({\mathbf{A}}_s)=0$
  Eg. 对于$i=2,j=1$的情况，有$\det ({\mathbf{A}}_{\mathbf{s}})=a_{21}{\mathrm{C}}_{11}+a_{22}{\mathrm{C}}_{12}+\cdots +a_{2\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{1\mathrm{n}}=\left|\begin{array}{rrrrr}{a}_{21}& a_{22}& \cdots & \cdots & a_{2n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & \cdots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& \ddots & & a_{3n}\\ ⋮& & & \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=0$

克莱姆法则

克莱姆法则用行列式的形式，直接给出了方程组的解
前提：方程个数=未知数个数（系数矩阵$\mathbf{A}$为方阵），同时矩阵可逆（方程有唯一解）

克莱姆法则有两种等价的表达方法

表述一

$\det (\mathbf{A})\ne 0$时，方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解为$$\mathbf{x}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{b}=\frac{{\mathbf{C}}^T}{|\mathbf{A}|}\mathbf{b}=\frac{{\mathbf{A}}^{\ast }}{|\mathbf{A}|}\mathbf{b}$$注意这里利用了上面的“逆矩阵公式”${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{{\mathbf{C}}^T}{|\mathbf{A}|}=\frac{{\mathbf{A}}^{\ast }}{|\mathbf{A}|}$

几何意义：$\mathbf{A}$是非奇异矩阵/可逆矩阵，对应同维度下的线性变换，因此给出变换后的向量，则变换前的向量唯一确定

表述二

当$det(\mathbf{A})\ne 0$时，方程组有唯一解$(\frac{D_1}{D},\frac{D_2}{D},...,\frac{D_n}{D})$，其中$D=det(\mathbf{A}),D_j=det(\mathbf{A}中第j列换成常数列\mathbf{v}，其他元素不变)$

特别的，对齐次线性方程组（$\mathbf{v}$为零向量），所有$D_j$都为0，这个唯一解就是零解

证明

从上面观察到，$\mathbf{x}=\frac{{\mathbf{C}}^T}{|\mathbf{A}|}\mathbf{b}$，分母为一个数（行列式），分子为一个列向量；
关注列向量分子${\mathbf{C}}^T\mathbf{b}$的第$j$行的元素（对应了第$j$个未知量的解），它来源于${\mathbf{C}}^T$的第$j$行和$\mathbf{b}$的乘积：$$b_1{\mathrm{C}}_{1j}+b_2{\mathrm{C}}_{2j}+\cdots +b_{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}j}$$
上述的“代数余子式的加权和”，再次让人联想到行列式

${\mathbf{C}}^T\mathbf{b}$的第$j$行的元素（对应了第$j$个未知量的解），实际上可以写成另一个矩阵${\mathbf{D}}_j$的行列式：例如${\mathbf{D}}_1$就是 D 1 = [ b 1 a 12 ⋯ ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ ⋯ a 2 n b 3 a 32 ⋱ a 3 n ⋮ ⋱ ⋮ b n a n 2 ⋯ ⋯ a n n ] \mathbf D_1=\left[b1a12⋯⋯a1nb2a22⋯⋯a2nb3a32⋱a3n⋮⋱⋮bnan2⋯⋯ann

\right] D1​=⎣ ⎡​b1​b2​b3​⋮bn​​a12​a22​a32​an2​​⋯⋯⋱⋯​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​a3n​⋮ann​​⎦ ⎤​也就是说，${\mathbf{D}}_j$矩阵就是将$\mathbf{A}$的第$j$个列向量替换为$\mathbf{b}$的结果

关于克莱姆法则的说明

实际上，克莱姆法则需要大量的行列式计算量，并不一定实用，解方程的首选方法仍是消元法
克莱姆法则的意义在于：解方程时，克莱姆法则还提供了用线性代数的纯计算方法来求解方程组的途径（而不涉及消元等等具体算法）

用行列式求面积/体积

前面已经说过，行列式的几何意义是：线性变换中有向面积/有向体积（三维时就是体积）的变化比例

等价的说法是，行列式的绝对值表示相应几何图形的面积/体积，其中，这个几何图形的所有边由行列式的行/列向量给出
（理解为：原来在标准正交坐标系，坐标轴围成的几何图形的面积/体积为1，故变化比例=线性变换后的图形面积/体积，另外要注意，将行/列向量视为边，是等价的，因为转置不影响行列式的结果）

例如：

• 对于单位阵：$det(\mathbf{I})=1$
  几何图形所有边对应于标准正交坐标系的基向量，围成的图形体积为1
• 对于正交矩阵：$det(\mathbf{Q})=1$
  和上述标准正交坐标系类似，只不过此时的边经过了“同步旋转”，但正交关系不变，围成的图形体积为1
  证明：$由于\mathbf{Q}{\mathbf{Q}}^T=\mathbf{I}\Rightarrow det(\mathbf{Q})det({\mathbf{Q}}^T)=1\Rightarrow det(\mathbf{Q})=1$

应用：给出平行四边形的两条边，计算面积

如图，传统方法是找出底和高，相乘得到面积

然而，行列式提供了新的思路：若两条边为$\mathbf{a}、\mathbf{b}$，则面积为 det ⁡ [ a b ] \operatorname{det}\left[ab

\right] det[ab​]

证明：由于前面已经验证了行向量相互垂直时，行列式可计算对应图形的面积，故这里就是要找出“底”和“高”两个向量，计算对应行列式。具体而言，$\mathbf{b}$在$\mathbf{a}$上的正交投影为$\mathbf{p}$，则底为$\mathbf{a}$，高为$\mathbf{b}-\mathbf{p}$
则面积为： det ⁡ [ a b − p ] = det ⁡ [ a b ] − det ⁡ [ a p ] （两行相关，行列式为 0 ） = det ⁡ [ a b ] \operatorname{det}\left[ab−p

\right]=\operatorname{det}\left[ab\right]-\operatorname{det}\left[ap\right]（两行相关，行列式为0）=\operatorname{det}\left[ab\right] det[ab−p​]=det[ab​]−det[ap​]（两行相关，行列式为0）=det[ab​]

应用：给出三角形的两条边，计算面积

类似的，蓝色三角形视为平行四边形的一半，从而可以计算三角形的面积为 1 2 det ⁡ [ a b ] \frac{1}{2}\operatorname{det}\left[ab

\right] 21​det[ab​]

更一般的情况是，三角形三个顶点由$\mathbf{a}、\mathbf{b}、\mathbf{c}$三个向量给出

• 法1：转化为上述的“有一个顶点位于原点”的情况，每个顶点同时减去$\mathbf{c}$，面积为$\frac{1}{2}\det \left[\begin{array}{l}\mathbf{a}-\mathbf{c}\\ \mathbf{b}-\mathbf{c}\end{array}\right]$
• 法2：转化为计算三维的三棱柱的体积（上下底都是三角形，高为1，则体积等于底面积），则面积为$\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}{x}_1-x_3& y_1-y_3& 0\\ x_2-x_3& y_2-y_3& 0\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|$（可见法2与法1等价），其中$x_i,y_i$是$\mathbf{a}、\mathbf{b}、\mathbf{c}$的二维坐标