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难度：中等

题目

对于任何正整数 x，其约数的个数记作 g(x)，例如 g(1)=1、g(6)=4。

如果某个正整数 x 满足：对于任意的小于 x 的正整数 i，都有 g(x)>g(i)，则称 x 为反素数。

例如，整数 1，2，4，6 等都是反素数。

现在给定一个数 N，请求出不超过 N 的最大的反素数。

输入格式

一个正整数 N。

输出格式

一个整数，表示不超过 N 的最大反素数。

数据范围

1≤N≤2∗10^9

输入样例：

1000

输出样例：

840

前缀知识 

唯一分解定理（算数基本定理）：任一大于1的自然数N，都可以唯一分解为有限个素数之积

在算术基本定理中，若正整数 N 被唯一分解为 N = ，其中 ci 都是正整数，pi 都是质数，且满足 p1

{}，其中 0 ≤ bi ≤ ci

N 的正约数个数为（Π表示连乘积符号，与∑类似）：

(c1 + 1) * (c2 + 1) *...* (cm + 1) = 

N 的所有正约数的和为：

 

解题思路

反素数的不同质因子不会超过10个，因为 2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31>2*10^9 反素数的所有质因数的指数总和不超过30，因为 2^31>2*10^9。所以，可以使用递归DFS，暴力搜索前十个质数的指数的所有可能组合，搜索时需满足指数单调递减，总乘积不超过N，且同时记录当前约数的个数。

对于反素数还有两个非常重要的性质

◼ 质因子 𝑝 1 , 𝑝 2 , …, 𝑝 𝑟 是从2开始连续的素数

◼ 质因子的指数递减 𝑒 1 ≥ 𝑒 2 ≥ 𝑒 3 … ≥ 𝑒 r

代码示例

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
 
#define int long long
 
int ps[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
int n;
int sum,minn;
 
void dfs(int pos,int last,int p,int s){
	if(s>sum||(s==sum&&p
		sum=s;
		minn=p;
	}
	for(int i=1;i<=last;i++){
		if(p*ps[pos]>n) break;
		p*=ps[pos];
		dfs(pos+1,i,p,s*(i+1));
	}
}
 
signed main(){
	cin>>n;
	dfs(0,30,1,1);
	cout<
	return 0;
}