manacher 算法

定义

最大回文半径

一个长度为奇数的回文串以中心为起点，到它某一端点的连线，所经过的字符个数，包括两端。
例如：
$$s=abcda$$

$c$是回文串的中心，该字符串的最大回文半径是$3$。

$mr，L:$

mr 表示已经遍历的回文串的最靠右的端点，L表示最靠左的端点。
初始化为0。

$mid:$

表示当前$mr$所对应的文串的中心的位置的下标。

$i:$
表示当前遍历到的字符的位置。

$i’:$
表示当前遍历到的字符的位置关于$mid$对称的点， $i^{\prime }=mid\ast 2-i$，由于是刚刚遍历到$i$那么$i$一定在$mid$的右边，$i^{\prime }$一定在$mid$的左边。

Manacher算法的作用

对于每一个字符串里面的字符，我们都能以线性的时间复杂度求出其最长回文半径。

Mancher算法的具体操作：

1.初始化：

首先，为了方便处理长度为偶数的字符串，我们把所有的偶字符串全部转化为长度为奇数的字符串。转化方式，对于原串的开头我们加上$结尾加上^，每个字符的两端我们加
上#

例如，对于字符串：

abcba

abcba

转化后的字符串

$#a#b#c#b#a#^

初始化代码：

void init(char a[]){//把原始的串a转化为都是奇数长度的串b
	int k = 0;
	b[k ++] = '$',b[k ++ ] = '#';
	for(int i = 0; i < n; i ++ ){
		b[k ++ ] = a[i];
		b[k ++ ] = '#';
	}
	b[k ++ ] = '^';
	n = k;
}
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然后从左往右遍历字符串，设当前位置是$i$，讨论并更新$mr,mid,i$

1. $i<mid<mr,L<i’-p[i^{\prime }]<mid$
   

这时，根据对称性可知$$p[i]=p[i^{\prime }]$$

2. $i<mid<mr,i^{\prime }-p[i^{\prime }]<L$
   
   这时
   $$p[i]=mr-i$$
   证明：假如$p[i]$还能向右扩展，那么：
   
   由对称性得：
   $x$和$y$关于$i$对称， 所以 $x=y$
   $y$和$a$关于$mid$对称，所以 $y=a$,
   $a$和$b$关于$i^{\prime }$对称，所以 $a=b$，
   所以 $b=x$。所以之前的$L,mr$都可以向外继续扩展
   所以矛盾。
   3.$i<mid<mr,i^{\prime }-p[i^{\prime }]==L$
   
   这时，最小的$$p[i{]}_{min}=mr-i$$

但是不知道后面的情况，所以 $p[i]⩾p[i{]}_{min}$
我们需要暴力向$mr$右边扩，知道找到$p[i]$为止

4.$i>mr$

这时先设$p[i]=1$，再暴力向外扩张。

代码

void manacher(char b[]){
	int mr = 0, mid;//mr不取到右端点,取的是开区间
	for(int i = 1; i < n; i ++ ){
		if(i < mr) p[i] = min(p[2 * mid - i], mr - i);
		else p[i] = 1;
		while(b[i - p[i]] == b[i + p[i]]) p[i] ++;
		if(i + p[i] > mr){
			mr = i + p[i];
			mid = i;
		}
	}
}
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时间复杂度
$$O(N)$$
因为$p[i]$如果变大，超过$mr$，$mr$也是一直向右更新,所以里面的$while$执行的次数为$n$次，所以时间复杂度是$O(N)$的。

例题：
manacher算法
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