MATLAB程序设计与应用 3.2 矩阵变换

MATLAB程序设计与应用

3. 第3章 MATLAB矩阵处理

3.2 矩阵变换

矩阵变换是指对一个矩阵进行某种运算与处理，其结果还是一个矩阵，包括求矩阵的对角阵、三角阵、转置矩阵,矩阵旋转，矩阵求逆等。

3.2.1 对角阵和三角阵

1. 对角阵

   只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角阵,对角线上的元素相等的对角阵称为数量矩阵，"对角线上的元素都为1的对角阵称为单位矩阵。矩阵的对角线有许多性质，如转置运算时对角线元素不变，相似变换时对角线的和(称为矩阵的迹）不变等。在研究矩阵时，很多时候需要将矩阵的对角线上的元素提取出来形成一个列向量,而有时又需要用一个向量构造一个对角阵。

   • 提取矩阵的对角线元素。设A为mxn矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线元素，产生一个具有 min(m,n)个元素的列向量。

     >> A = [1,2,3;4,5,6]
     
     A =
     
          1     2     3
          4     5     6
     
     >> D = diag(A)
     
     D =
     
          1
          5
     1
     2
     3
     4
     5
     6
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     diag(A)函数还有一种形式diag(A,k),其功能是提取第k条对角线的元素。与主对角线平行，往上为第1条、第2条、……、第n条对角线，往下为第-1条、第-2条、…、第-n条对角线。主对角线为第0条对角线。

     >> A
     
     A =
     
          1     2     3
          4     5     6
     
     >> D1 = diag(A , 1)
     
     D1 =
     
          2
          6
     
     >> D2 = diag(A , -1)
     
     D2 =
     
          4
     1
     2
     3
     4
     5
     6
     7
     8
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   • 构造对角阵

     设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个m×m对角阵，其主对角线元素即为向量V的元素。

     >> diag([1,2,-1,4])
     
     ans =
     
          1     0     0     0
          0     2     0     0
          0     0    -1     0
          0     0     0     4
     1
     2
     3
     4
     5
     6
     7
     8

     diag(V)函数也有另一种形式 diag(V,k)，其功能是产生一个nxn (n=m+|k|）对角阵，其第k条对角线的元素即为向量V的元素。

     >> diag(1:3,-1)
     
     ans =
     
          0     0     0     0
          1     0     0     0
          0     2     0     0
          0     0     3     0
     1
     2
     3
     4
     5
     6
     7
     8

   例子：先建立5x5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5.

   用一个对角阵左乘一个矩阵时，相当于用对角阵的第1个元素乘以该矩阵的第一行，用对角阵的第2个元素乘以该矩阵的第二行，……，依此类推。因此，只需按要求构造一个对角阵D，并用D左乘A即可。

   >> A = [17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19];
   >> D = diag(1:5);
   >> D * A
   
   ans =
   
       17     0     1     0    15
       46    10    14    28    32
       12     0    39     0    66
       40    48    76    84    12
       55    90   125    10    95
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   8
   9
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   11

   如果要对A的每列元素乘以同一个数，可以用一个对角阵右乘矩阵 A。

2. 三角阵

   三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵。所谓上三角阵，是指矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵，而下三角阵则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵。

   • 上三角阵。与矩阵A对应的上三角阵B是与A同型的一个矩阵，并且B的对角线以上(含对角线)的元素和A对应相等，而对角线以下的元素等于0。求矩阵A的上三角阵的MATLAB函数是triu(A)。

     >> A = [7,13,-28;2,-9,8;0,34,5]
     
     A =
     
          7    13   -28
          2    -9     8
          0    34     5
     
     >> B = triu(A)
     
     B =
     
          7    13   -28
          0    -9     8
          0     0     5
     1
     2
     3
     4
     5
     6
     7
     8
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     triu(A)函数也有另一种形式triu(A,k),其功能是求矩阵A的第k条对角线以上的元素。

     >> A
     
     A =
     
          7    13   -28
          2    -9     8
          0    34     5
     
     >> B = triu(A , 1)
     
     B =
     
          0    13   -28
          0     0     8
          0     0     0
     1
     2
     3
     4
     5
     6
     7
     8
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   • 下三角阵

     在 MATLAB中，提取矩阵A的下三角阵的函数是tril(A)和 tril(A,k)，其用法与提取上三角阵的函数triu(A)和 triu(A,k)完全相同。

3.2.2 矩阵的转置与旋转

1. 矩阵的转置

   所谓矩阵的转置，即把源矩阵的第一行变成目标矩阵的第一列,第二行变成第二列,…,依此类推。显然，一个m×n矩阵经过转置运算后,变成一个nxm矩阵。

   设A为mxn矩阵，则其转置矩阵B的元素定义如下：

   

   转置运算符是小数点后面接单引号(.')

   >> B = [71,3,-8;2,-9,8;0,4,5]
   
   B =
   
       71     3    -8
        2    -9     8
        0     4     5
   
   >> B.'
   
   ans =
   
       71     2     0
        3    -9     4
       -8     8     5
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   8
   9
   10
   11
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   还有一种转置叫共辄转置，其运算符是单引号(')，它在转置的基础上还要取每个数的复共辄。例如，B=A得到的B就是A的共辄转置矩阵，等价于B=conj(A).‘或 B=conj(A.’)。如果矩阵的元素都是实数，那么转置和共辄转置的结果是一样的。

2. 矩阵的旋转

   在MATLAB中，可以很方便地以90°为单位对矩阵A按逆时针方向进行旋转。利用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90°的k倍，当k为1时可省略。

   >> A = [57,19,38;-2,31,8;0,84,5]
   
   A =
   
       57    19    38
       -2    31     8
        0    84     5
   
   >> B = rot90(A)
   
   B =
   
       38     8     5
       19    31    84
       57    -2     0
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   8
   9
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3. 矩阵的左右翻转

   对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，……，依此类推。MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A)。

   >> A = [14,-9,8;-2,81,8;-2,4,0]
   
   A =
   
       14    -9     8
       -2    81     8
       -2     4     0
   
   >> B = fliplr(A)
   
   B =
   
        8    -9    14
        8    81    -2
        0     4    -2
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   8
   9
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4. 矩阵的上下翻转

   与矩阵的左右翻转类似,矩阵的上下翻转是将原矩阵的第一行与最后一行调换，第二行与倒数第二行调换，……，依此类推。MATLAB对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。

3.2.3 矩阵的逆和伪逆

1. 矩阵的逆

   对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B,使得

   A·B = B·A = I(I为单位矩阵)

   则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。

   求矩阵的逆是一项非常繁琐的工作，容易出错，但在 MATLAB 中求一个矩阵的逆非常容易。求方阵A的逆矩阵可调用函数 inv(A)。

   例子：求方阵A的逆矩阵，且验证A和A^-1是互逆的。

   >> A = [1,-1,1;5,-4,3;2,1,1];
   >> B = inv(A);
   >> A * B
   
   ans =
   
       1.0000    0.0000         0
      -0.0000    1.0000         0
      -0.0000    0.0000    1.0000
   
   >> B * A
   
   ans =
   
       1.0000    0.0000   -0.0000
            0    1.0000   -0.0000
            0   -0.0000    1.0000
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   8
   9
   10
   11
   12
   13
   14
   15
   16
   17

   A·B = B·A，即A·A^-1 = A^{-1·A，所以A与A}-1是互逆的。

2. 用矩阵求逆方法求解线性方程组。

   将包含n个未知数，由n个方程构成的线性方程组表示为：

   

   其矩阵表示形式为Ax = b

   其中

   

   由于A^-1·A = I，所以 x = A^-1 b

   所以，利用求系数矩阵A的逆矩阵，可以求解线性方程组。

   例子：

   >> A = [1,2,3;1,4,9;1,8,27];
   >> b = [5,-2,6]';
   >> x = inv(A) * b
   
   x =
   
      23.0000
     -14.5000
       3.6667
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   8
   9

3. 矩阵的伪逆

   如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A’同型的矩阵B,使得 A·B·A = A B·A·B = B

   此时，称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。在MATLAB中，求一个矩阵的伪逆的函数是pinv(A)。

   >> A = [3,1,1,1;1,3,1,1;1,1,3,1];
   >> B = pinv(A)
   
   B =
   
       0.3929   -0.1071   -0.1071
      -0.1071    0.3929   -0.1071
      -0.1071   -0.1071    0.3929
       0.0357    0.0357    0.0357
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   8
   9

   若A是一个奇异矩阵，无一般意义上的逆矩阵,但可以求A的伪逆矩阵。

   >> A = [0,0,0;0,1,0;0,0,1];
   >> pinv(A)
   
   ans =
   
        0     0     0
        0     1     0
        0     0     1
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   8

   本例中，A的伪逆矩阵和A相等，这是一个巧合。一般说来，矩阵的伪逆矩阵和自身是不同的。