积分专题笔记-与路径无关条件

一、平面曲线积分与路径无关的条件

定理（平面曲线第二类曲线积分与路径无关的四个等价条件）

若 $D$ 是平面单连通区域，且 $P$，$Q$ 在 $D$ 上连续且具有连续的一阶偏导数，则以下四个条件等价：

(1) 对 $D$ 中任一封闭曲线 $\Gamma$ 的第二类曲线积分为 $0$，即：${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy=0$ 。

(2) 对任给 ${\Gamma }_{ACB},{\Gamma }_{ADB}\subset D$，则：${\oint }_{{\Gamma }_{ACB}}Pdx+Qdy={\oint }_{{\Gamma }_{ADB}}Pdx+Qdy$ 。

​ 即在 $D$ 中非封闭曲线上的积分，只与起点与终点有关，与 $D$ 中的路径无关。

(3) 存在 $D$ 上的一个二元函数 $\mu (x,y)$，使 $du=Pdx+Qdy$，即 $\frac{\partial u}{\partial x}=P$ ， $\frac{\partial u}{\partial y}=Q$ 。

(4) $\forall (x,y)\in D$，都有 $\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y}$ 。

二、空间曲线积分与路径无关的条件

空间第二类曲线积分与路径无关的四个等价条件

设 $\Omega$ 是空间的一个线单连通的一阶偏导数，则以下四个条件等价：

(1) 对 $\Omega$ 中的任意封闭曲线 $L$ 上的第二类曲线积分为 $0$，即 ${\oint }_{L}Pdx+Qdy+Rdz=0$

(2) 对 $\Omega$ 中的任意两个非封闭曲线 ${\Gamma }_{ACB},{\Gamma }_{ADB}$，

​ 有 ${\int }_{{\Gamma }_{ACB}}Pdx+Qdy+Rdz={\int }_{{\Gamma }_{ADB}}Pdx+Qdy+Rdz$ ，

​ 即 $\Omega$ 中非封闭曲线上的第二类曲线积分只与起点和终点有关，与 $\Omega$ 中的路径无关。

(3) 存在 $\Omega$ 上的一个三元函数 $u(x,y,z)$ ，使 $du=Pdx+Qdy+Rdz$，

​ 即 $\frac{\partial u}{\partial x}=P,\frac{\partial u}{\partial y}=Q,\frac{\partial u}{\partial z}=R$，称 $u$ 是 $Pdx+Qdy+Rdz$ 的一个原函数。

(4) $\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial y}\equiv \frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}\equiv \frac{\partial R}{\partial x}$，即 $\mathrm{rot}\vec{A}\equiv 0,(x,y,z)\in \Omega$ .