Spherical parametrizations

定义

• 把genus-0的网格映射到球面上

球面参数化，要求网格是亏格为0，封闭的

• 应用

  • 对应，correspondence
  • 变形，morphing
  • remeshing

• 问题分析

  • Spherical constraints
  • Bijective constraints （no foldover）
  • low distortion

• 挑战

  • No Tutte’s embedding method
  • Non-linear, non-convex optimization problem

Hierarchical method

层次化的方法

• Pipeline
  • mesh做decimation，然后映射到球面，然后refinement，最后输出triangular sphere
• Decimation
  • curvature error metric （CEM）
  • 根据度量，每次简化的是曲率比较高的地方
• Refinement
  • 在球上插入一个新的顶点
  • 插入一点，检验扭曲程度，以此来优化

Two hemispheres

两个半球

• Pipeline
  • 把网格分成两个子网格
  • 把每个子网格映射到平面圆盘上
  • 把圆盘映射到半球面上
  • 获得球面映射

Curvature flow

Directional Field

定义

• 空间变换的方向信息，分配给每个点

  • 定义在定义域上，每个店给一个方向

• Magnitude + direction

• Multi-valued field

  • 多个方向（可能是旋转对称的，例如旋转90度）
  • 可以认为定义了一个方向的集合
  • 比如，Rotationally-symmetric direction fields （RoSy fields）
  • 可以定义方向数$N=1,2,4,6$
  • 对RoSy来说，有4个方向，相隔90度
  • 也可以是两对独立的方向（一共还是4个方向，每个pair之间相差180度，但是两个pair之间没有角度关系）

• 常见的场：1-vector field （有大小有方向），2-direction field （只有方向没大小，也叫line field，2-RoSy field），$1^3$-vector field（三个独立的向量，这个3表示3个独立）；4-vector field（4方向的向量场，只有一个独立的方向）；4-direction field（没有长度，也叫unit cross field，4-RoSy field），$2^2$-vector field（两对良乡，也叫frame field），$2^2$-direction field (两对方向，也叫non-ortho. cross field)…

• 一些例子

  • 主曲率方向（2-direction field）
  • Stress or strain tensors (应力)
  • 梯度场（单方向或多方向）
  • The advection field of a flow
  • Diffusion data from MRI

• 生成或设计

  • 用户约束

  • Alignment conditions

  • Fairness objectives

  • 物理的要求

• 应用

  • Mesh generation（四边形网格生成）
  • All-hex meshing（六面体网格生成）
  • Deformation
  • Texture mapping and synthesis
  • Architectural geometry （共轭方向）

Discretization

Tangent spaces 切空间

• 切平面可以定义在面片、边、顶点上
• 对一个点构造切平面，要对他计算surface normal vector
  • 对面来说，就是法向
  • 对边或顶点，就是局部平均

Discrete connections

• 给定两个切平面$i$和$j$，需要一个connection，来比较定义在他们上的两个方向物体。
• 最常见的方法就是把两个切平面参数化，在参数平面比较。Levi-Civita

向量场拓扑

• 向量场的奇异点，在这个点向量消失或者没有well-defined
• 2D case

离散场拓扑

• Period jump

Matching: multi-valued field

• $N>1$ directionals per tangent space
• An additional degree of freedom:
  • the correspondence between the individual directionals in tangent space $i$ To those in the adjacent tangent space $j$；
• A matching between two $N-$sets of directional is a bijective map $f$ between them (or their indices).
  • It preserves order: $f(u_r)=v_s\leftarrow \to f(u_{r+1})=v_{s+1}$

Effort

• Based on a matching $f$, the notions of rotation and principal rotation can be generalized to multi-valued fields
• ${\delta }_{ij}^r$: rotation between $u_r$ and $f(u_r)$
• Effort of the matching : ${\sum }_{r=1}^N{\delta }_{ij}^r$

Representation

Angle-based

Pros: direcitons, period jumps, are represented explicitly

Cons: k

Cartesian and Complex

Complex Polynomials

• 把场看成是一个复数多项式的根。
• 比较两个三角形上的复数多项式的系数

Objectives and Constraints

不同的应用有不同的需求。

目标函数

• 光滑的
• 平行性——As parallel as possible. 让effort尽量的小。
• 正交性

约束

• 对齐：fit certain prescribed directions
• Symmetry
• Surface mapping

可积场