用于显微超分辨成像的CEL0方法¹

传统显微超分的方法：

• Gaussian fitting
• Deconvolution under sparsity constraint
  这种方法的缺点是不适用于高密度的emitter，定位的分子会有overlap。

CEL0的解决方案

成像模型

$$Y=P(A(H(X)))(\ast \ast )$$
其中P为Poisson噪声，X为分子结构图，H为高斯核卷积算子,A为精细网格到粗粒度网格的平均算子。

变分优化模型

上述超分问题转化为如下的优化问题
$$\hat{X}\in \arg \underset{X}{\min }\frac{1}{2}\Vert AH(X)-Y{\Vert }^2+\lambda \Vert X{\Vert }_0+{\delta }_{\ge 0}(X)$$
该问题求解为NP-hard

CEL0的求解方案

将L0范数替换为Continuous exact ${\ell }_0$,得到如下模型
$$\hat{X}\in \arg \underset{X}{\min }\frac{1}{2}\Vert AH(X)-Y{\Vert }^2+{\Phi }_{CEL0}(X)+{\delta }_{\ge 0}(X)$$
其中
$${\Phi }_{CEL0}(X)=\sum _{i=1}^{(NL{)}^2}\varphi (|AH(E^i)|,\lambda ;|X_i|)$$
这里的各项可表示为
$$\varphi (a,\lambda ;x)=\lambda -\frac{a^2}{2}(x-\frac{\sqrt{2\lambda }}{a}{)}^2{1}_{x\le \frac{\sqrt{2\lambda }}{a}}$$

Remark:

• 原问题(**)的解包含在CEL0问题的解空间
• 可通过CEL0的解给出原问题的一个解
• 某些原问题的解不是CEL0问题的临界点

CEL0的求解

结合iterative reweighted L1算法²求解CEL0的优化问题。

单分子定位技术的近期发展

nature近期提出一种单分子定位的深度学习方法：DECODE
该方法可以快速处理密集emitter的成像数据。
具体见文献³

参考文献：

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1. S. Gazagnes, E. Soubies, and L. Blanc-Féraud, “High density molecule localization for super-resolution microscopy using CEL0 based sparse approximation,” in ISBI, Apr. 2017, pp. 28–31. ↩︎

2. Peter Ochs et al., “On iteratively reweighted algorithms for nonsmooth nonconvex optimization in computer vision,” SIAM Journal on Imaging Sciences, vol. 8, no. 1, 2015. ↩︎

3. A. Speiser et al., “Deep learning enables fast and dense single-molecule localization with high accuracy,” Nat Methods, vol. 18, no. 9, pp. 1082–1090, Sep. 2021. ↩︎