• 矩阵分析与应用

    向量的内积与范数

    根据元素的取值方式的不同，向量分为常数向量，函数向量和随机向量。常数向量是元素为常数的向量；函数向量是元素取某个变量的函数值的向量；而随机向量则是元素为随机变量的向量。

    虽然常数向量，函数向量和随机向量的内积定义公式有所不同，但是无论向量取何种形式，向量的内积和范数都必须服从一定的公理。

    由于实向量是复向量的特例，因此以下以复向量作为讨论对象，并用R与C表示实数域和复数域。

    令V为复向量空间，函数\left \langle x,y \right \rangle :V\times V \mapsto C称为向量x和y的内积，对所有x,y,z\in V，满足以下内积公理：

    1. \left \langle x,x \right \rangle\geq 0
    2. \left \langle x,x \right \rangle= 0,当且仅当x=0时
    3. \left \langle x+y,z \right \rangle=\left \langle x+z\right \rangle+\left \langle y+z \right \rangle
    4. \left \langle cx,y \right \rangle=c^{*}\left \langle x,y \right \rangle，其中*表示复数共轭。
    5. \left \langle x,y \right \rangle=\left \langle y ,x\right \rangle^{*}，其中*表示复数共轭。

    令V为复向量空间，函数\left \| x \right \|:V \mapsto R称为向量x的范数，对所有x,y\in V，下面的范数公理成立：

    1. \left \| x \right \|\geqslant 0
    2. \left \| x \right \|=0,当且仅当x=0时
    3. \left \| cx \right \|=|c|\left \| x \right \|
    4. \left \| x+y \right \|\leqslant \left \| x \right \|+\left \| y \right \|

    常数向量的内积与范数：

    两个m*1维常数向量x=[x_{1},x_{2},.. .x_{m}]^{T}和y=[y_{1},y_{2},.. .y_{m}]^{T}的内积（或叫点积）定义为：

    \left \langle x,y \right \rangle=x^{H}y=\sum_{i=1}^{m}x_{i}^{*}y_{i}

    两个向量之间的夹角定义为：
    cos\theta =\frac{\left \langle x,y \right \rangle}{\sqrt{\left \langle x,x \right \rangle}\sqrt{\left \langle y,y \right \rangle}}=\frac{x^{H}y}{\left \| x \right \|\left \| y \right \|}

    若x^{H}y=0，则\theta =\frac{\pi }{2}，此时称常数向量x与y正交。

    若两个常数向量的内积等于0，则称为正交，即x^{H}y=0，记作x\perp y。零向量0与同一空间的任何向量都正交。

    下面是几种常用的向量范数。

    1.l_{1}范数，也叫范数或1范数。

    \left \| x \right \|_{1}=\left | \sum_{i=1}^{m} x_{i} \right |=|x_{1}|+|x_{2}|+.. .+|x_{m}|

    2.l_{2}范数,这一范数常称Euclidean范数，有时也称Frobenius范数。

    \left \| x \right \|_{2}=(|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+.. .+|x_{m}|^{2})^{\frac{1}{2}}

    3.l_{\infty}范数,也称无穷范数或极大范数。

    \left \| x \right \|_{\infty}=max(|x_{1}|,|x_{2}|,.. .,|x_{m}|)

    4.l_{p}范数.

    \left \| x \right \|_{p}=\left ( \sum_{i=1}^{m}|x_{i}|p \right )^{\frac{1}{p}}

    当p=2时，l_{p}范数与Euclidean范数完全等价。

    无穷范数是l_{p}范数的极限形式，即有：
    \left \| x \right \|_{\infty}=\lim_{p\rightarrow \infty}\left ( \sum_{i=1}^{m}|x_{i}|p \right )^{\frac{1}{p}}

    假定向量x和y有共同的起点，它们的端点分别为x和y，则\left \| x-y \right \|_{2}度量两个向量x，y两个端点之间的标准Euclidean距离。特别的，非负的标量\left \langle x,x \right \rangle^{\frac{1}{2}}称为向量x的Euclidean长度。Euclidean长度为1的向量叫做归一化向量。

    对于任何不为零的向量x \in C^{m}，向量x/\left \langle x,x \right \rangle^{\frac{1}{2}}都是归一化的，并且它与x同方向。

    常数向量W和V的外积（又叫叉积）记作wv^{H},定义为:
    wv^{H}=\begin{bmatrix} w_{1}v_{1}^{*} & w_{1}v_{2}^{*} & .. .& w_{1}v_{m}^{*} \\ w_{2}v_{1}^{*} &w_{2}v_{2}^{*} & .. . &w_{2}v_{m}^{*} \\ .. . &.. . & &.. . \\ w_{m}v_{1}^{*} & w_{m}v_{2}^{*} & .. . & w_{m}v_{m}^{*} \end{bmatrix}

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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_46007132/article/details/125411826