对称矩阵是在线性代数中非常重要的一类矩阵。一个矩阵 A 被称为对称矩阵，如果它等于其转置矩阵，即 A=AT。对称矩阵具有以下几个重要性质：
### 1. 特征值和特征向量
- **实特征值**：对称矩阵的所有特征值都是实数。
- **正交特征向量**：对于不同特征值对应的特征向量是正交的，即如果 λ1 和 λ2 是不同的特征值，对应的特征向量 v1 和 v2 满足 vT1v2=0。
- **正交对角化**：对称矩阵可以被正交对角化，即存在一个正交矩阵 Q 和一个对角矩阵 Λ 使得：
A=QΛQT
其中，Λ 的对角元素是 A 的特征值，Q 的列是 A 的正交特征向量。
### 2. 半正定性
- **正定矩阵**：如果对称矩阵 A 的所有特征值都大于零，那么 A 是正定矩阵。
- **半正定矩阵**：如果对称矩阵 A 的所有特征值都大于等于零，那么 A 是半正定矩阵。
### 3. 内积
- 对称矩阵可以定义一个新的内积。例如，如果 A 是一个对称矩阵，x 和 y 是向量，那么 xTAy 定义了一个双线性形式。
### 4. 运算性质
- **加法和减法**：两个对称矩阵的和或差仍然是对称矩阵。
- **数乘**：对称矩阵乘以一个标量仍然是对称矩阵。
- **乘法**：两个对称矩阵的乘积一般不是对称矩阵，但是如果 A 和 B 是对称矩阵并且它们可交换（即 AB=BA），那么它们的乘积 AB 仍然是对称矩阵。
### 5. 矩阵函数
- 对称矩阵应用任何解析函数（如指数函数、对数函数等）后，得到的矩阵仍然是对称矩阵。
### 证明示例
举一个关于对称矩阵性质的简单证明：
**命题**：对称矩阵 A 的所有特征值都是实数。
**证明**：
假设 v 是 A 的一个特征向量，对应的特征值为 λ，即 Av=λv。
考虑 v 和 Av 的内积：
vTAv=vT(λv)=λ(vTv)
因为 A 是对称矩阵， vTAv=(Av)Tv=(λv)Tv=λ∗(vTv)，其中 λ∗ 是 λ 的共轭复数。
由于 vTv 是实数且不为零（因为 v 是特征向量，不为零），我们有：
λ(vTv)=λ∗(vTv)
所以 λ=λ∗，这表明 λ 是实数。
这就证明了对称矩阵的所有特征值都是实数。
这些性质使对称矩阵在各种应用中非常有用，包括物理学、工程学和计算数学等领域。