数学建模（一）：2022年国赛a题

1.题目

2. 评阅要点

评阅要点

A题围绕波浪能转换装置输出能量问题，通过波浪作用，使装置中的浮子与振子产生相对运动，驱动阻尼器做功并将其作为能量输出。要求建立浮子与振子的运动模型，并设计最优阻尼系数使得 PTO系统的平均输出功率最大。

问题 1 考虑浮子在波浪中只做垂荡运动，建立在给定波浪激励力下的浮子与振子的振动方程组。振动方程组中应包含直线阻尼器的阻尼力、弹簧力、静水恢复力(或浮力和重力)、附加惯性力和兴波阻尼力等。利用附件3和附件4的参数值，计算并给出线性和非线性阻尼系数下，在给定波浪激励力下各时间点的浮子与振子的垂荡位移和速度。

问题 2 考虑浮子在波浪中只做垂荡运动，针对阻尼系数为线性与非线性两种情况，给出平均输出功率的具体表达式，进而建立使平均输出功率最大的数学模型。利用附件3和附件4的参数值，给出最优阻尼系数及相应的最大平均输出功率。平均功率应该在浮子与振子进入平稳运动状态下进行计算，或选择比较长的时间段进行计算。在线性阻尼系数下，给出振动方程组的解析解、进行稳定性分析的论文应予以鼓励。

问题 3 考虑浮子在波浪中只做垂荡和纵摇运动，建立在给定的波浪激励力和波浪激励力矩下的浮子与振子的振动方程组。除了问题1中的各种作用力外，振动方程组中还应考虑旋转阻尼力矩、扭转弹簧力矩、附加惯性力矩、兴波阻尼力矩和静水恢复力矩等。利用附件3和附件4的参数值，计算并给出直线阻尼器和旋转阻尼器的阻尼系数均为常量时，在给定波浪激励力及力矩下各时间点的浮子与振子的垂荡位移与速度、纵摇角位移与角速度。

问题 4 考虑浮子在波浪中只做垂荡和纵摇运动，给出平均输出功率的具体表达式，进而建立使平均输出功率最大的数学模型。利用附件3和附件4的参数值，给出直线阻尼器和旋转阻尼器的最优阻尼系数及相应的最大平均输出功率。平均功率应该在浮子与振子进入平稳运动状态下进行计算，或选择比较长的时间段进行计算。

3.具体分析

具体分析

问题一

波浪能装置垂荡运动模型分析

建立浮子与振子的垂荡运动模型需要准确反映浮子和振子振动的物理过程。对此，基于牛顿第二定律对装置进行受力分析，建立浮子和振子垂荡运动的二阶非齐次线性微分方程，并采用四阶龙格库塔法进行数值求解。（首先换元，可以降次，可以用ode45工具箱求解）

问题二

波浪能装置最大输出功率设计分析

波浪能装置输出功率优化设计，需要在垂荡运动模型的基础上，求出给定情景下装置的最大输出功率以及对应的最优阻尼系数．通过推导平均功率函数，得到最大输出功率的设计方法，利用龙格库塔法粗略寻优后，采用遗传算法，分别求出两种给定情景下的最大平均输出功率，以及对应的最优阻尼系数。（这是智能优化算法，如果可以的话，我们能不能直接得出解析解并直接算出来呢）

问题三

装置垂荡与纵摇运动模型分析

浮子在水中只做垂直和纵摇运动，中轴和底座铰接，并在转轴处增加了旋转阻尼器与旋转弹簧，其余条件与问题1相同。假定浮子和振子的角位移很小，因此考虑垂荡时，可以忽略纵摇影响。

在考虑纵摇时，由于计算得到的浮子和振子相对垂荡位移很小，可将二者之视为一个整体计算转动，此后再构建以转轴为原点的平动非惯性参考第，分析振子的转动。分别列出两条动力学方程和2条转动方程，利用MATLAB求解。（再次换元，得出八个方程）

问题四

利用数值积分法求解PTO

需要对阻尼系数在 [0,100000]内直线阻尼器和旋转阻尼器取值，得到浮子同时进行垂荡和纵摇下最大输出功率及相应的最优阻尼系数。类似于问题二，利用数值积分法求解出系统PTO，再对直线阻尼器和旋转阻尼器最优阻尼系数从0-100000进行遍历，计算出不同条件下PTO。通过多次细分目标区间，找出最优参数。（把积分变成离散化进行累加）

4.检验

模型检验

01

方差检验

该题波浪能装置的运动属于简谐激励下线性系统的受迫振动，此类物体振动稳定后的振动周期应与波浪激励的周期接近，故据此进行方差检验，检验模型的正确性。

（这是理论）

引入记号

得出的解析解是

可知此类物体振动稳定后的振动周期应与波浪激励的周期接近。

02

稳定性分析

对于不同大小的波浪激励力矩，计算振子相对于浮子的角位移。若波浪激励力矩大小在一定范围内变动，振子相对于浮子位移均满足小量的假设。此外，还可以计算该模型对扭转弹簧刚度的稳定性分析，计算输出功率，检查是否符合题目中的数据区域。