【电路笔记】-星三角变换（Star-Delta Transformation）

星三角变换（Star-Delta Transformation）

本文将重点介绍称为星三角变换或 $Y-△$ 变换的电路电子变换，其名称来自于图 1 中所涉及的电路的形状。本文的目标是了解如何变换 $Y$ 构型到 $△$ 构型，以及相反，这种转换在哪种情况下有用以及原因。

图1：Delta和Y拓扑

首先，我们介绍这种拓扑通常使用的领域：三相电源电路。 我们将简要描述其与单相电路相比的功能和优点。

在第二部分中，我们提供有关 $Y$ 和 $△$ 配置的更多详细信息。 我们将看到这种配置在三相电路的源级和接收级都存在。

第三部分重点介绍$Y$ 到$△$和$△$到$Y$的转换。 我们将用一些例子来说明该理论，并解释这种变换如何简化三相电路的研究。

1、概述

我们在本节中重点介绍单相和多相电气配置之间的差异。 有兴趣可以参考正弦波文章，我们已经介绍了一些关键信息。

1.1 单相配置

单相配置是指仅通过一个交流信号来实现电力的产生、分配和接收。

图2：单相电源配置示意图

正如我们在图 2 中看到的，交流发电机的定子中仅存在一对极对，它仅生成以下形状的一个交流信号或相位：

在单相配置中，如交流功率文章中所述，传输到负载的功率具有常数和随时间变化的项：

公式1：单相配置的瞬时功率

$V_{RMS}$ 和 $I_{RMS}$ 分别是电压和电流均方根值。 $△\varphi$表示电压和电流信号之间的相位差，$\omega$表示它们共同的角脉动。

单相电源配置的主要问题是交流电源项可能会因驱动轴振动而损坏输出交流发电机。

因此，大功率应用有必要依赖多相发电系统。

1.2 多相配置

在多相配置中，许多交流信号（电压或电流）由电源生成、传输并由负载接收。 相数取决于交流发电机定子中的极对线圈的数量。 全球范围内均采用三相的选择，如下图3所示：

图3：三相电源配置示意图

在这种配置中，每个极对以 120° 角分开，这也会导致相同值的时间相移：

图4：三相发电的结果信号

当N相相移相等$360°/N$时，我们说平衡三相系统。

获得三相配置的瞬时功率表达式并不复杂，但涉及大量重复且漫长的步骤。 但可以看出，瞬时功率的最终表达式不再依赖于时间参数，如公式 2 所示：

公式2：三相配置的瞬时功率

事实上，对于任何 $n\ge 2$ 的 $n$ 相配置，单相配置的公式 1 中遇到的功率脉动项实际上被取消。

多相系统还具有其他优点，例如使用更好的功率传输/电缆质量比。

2、三相连接

在本节中，我们将提供有关图 1 中所示网络的更多详细信息。

2.1 Y配置

值得一提的是，我们可以找到许多名称来描述这种拓扑。 星形、Y（或星形）和 T 网络实际上都指相同的拓扑，具体取决于电路的绘制方式：

如果我们真正关注图 3 中线圈的互连方式，我们可以看到它们都连接到接地节点。 事实上，图 3 中示例的连接是 Y 配置。

完整的 Y 三相系统由电源、线路和接收器（阻抗）组成，如下图 5 所示：

图5：三相系统Y配置

由于接地的存在，在星形配置中，电机的每个线圈的电压都会降低（除以$\sqrt{3}$）。

让我们假设一个 Y 三相系统，其中 $Z_{Y1}=Z_{Y2}=Z_{Y3}=25\Omega$，并且电源提供 $3\times 120V$ 交流信号，我们假设 $\cos (\varphi )=1$。 由于阻抗相等，因此每个电阻器中的电压由 $120/\sqrt{3}=69V$ 给出。同样的说明也适用于电流，它们的值相等，由 $69/25=2.8 A $给出。

根据公式 2，最终得出有功功率 $P=3\times 69\times 2.8=580W$。

2.2 Δ配置

例如，对于 $Y$ 配置，许多名称都指这种拓扑：Delta（或 $△$）、三角形、Pi（或 Π）或网格。

完整的$△$三相系统由电源、线路和接收器（阻抗）组成，如下图 6 所示：

图6：Δ配置的三相系统

我们可以注意到，$△$ 配置中不存在接地，因此，电机的每个线圈都直接看到施加的电压。

我们重新考虑之前给出的相同示例，$Z_{△1}=Z_{△2}=Z_{△3}=25\Omega$，电源为 $3\times 120V$。在 $\Delta$ 配置中，没有接地，因此，每个电阻器两端的电压等于 120 V 电源 每条线的 RMS 强度由 $120/25=4.8A$ 给出。

因此，有功功率由 $P=3\times 120\times 4.8=1730W$ 给出。

对于相同的阻抗和电源，$△$配置比 $Y$ 配置强大 3 倍。

$Y$ 或 $△$ 配置的选择取决于所提供的电压值和所用电机的标称电压。 例如，电压写为 230/400 V，这表示 230 V 是相间电压，400 V 是相与地之间的电压。

当电源电压和标称电压相等时选择$Y$配置，当相地电源等于电机相间电压时选择 $△$。 此外，有些关联是不可能的，如下表所示：

3、Y-Δ 和 Δ-Y 变换

这些变换使我们能够将 $Y$ 构型转换为 $△$ 构型，并且相互转换。 我们也可以将这些转换称为肯纳利定理。 电路中存在的阻抗将被准确标记，如图1 所示。

3.1 Y-Δ变换

Y-Δ 和 Δ-Y 变换仅由一系列遵循的公式组成。 对于 Y-Δ 转换，我们进行如下操作：

公式3：Y-Δ变换公式

3.2 Δ-Y变换

对于用于 Δ-Y 变换的倒数公式，我们进行如下操作：

公式4：Δ-Y变换公式

3.3 应用

让我们考虑一下图7中的以下电路，我们想要找到其等效电阻：

图7：基于Y的电路

我们在绿色节点之间识别出由电阻$R_{Y1}$、$R_{Y2}$ 和 $R_{Y3}$ 形成的 Y 配置。 为了找到该电路的等效电阻，我们将 $Y$ 配置变换为由电阻器 $R_{\Delta 1}$、$R_{\Delta 2}$ 和 $R_{\Delta 3}$ 形成的 $△$ 结构，其公式由等式 3 给出。

图8：基于Δ的变换电路

最后，通过将其余电阻并联，给出等效电阻$R_{eq}$：$R_{eq}=[(R_P//R_{\Delta 1})+(R_L//R_{\Delta 3})//R_{\Delta 2}]$。

4、总结

本文重点介绍两种常见于三相电路的特殊连接，即星形、Y 或 T 配置以及 Δ、三角形或 Π 配置。 目标是了解在何种情况下、如何以及为何这两种配置可以相互转换为另一种配置。

• 首先讨论三相电路，我们已经看到它们更适合高功率应用，因为单相电路中存在可能损坏输出引擎的有问题的脉动项，并通过多相发电消除了这一问题。
• 介绍背景后，我们提供有关 Y 和 Δ 配置的更多详细信息。 这些配置实际上存在于多相系统的生成和接收阶段。 我们强调这样一个事实：Δ 配置比 Y 连接提供更多的有功功率。 此外，连接的选择取决于网络的可用电源和要驱动的发动机所需的电源。
• Y 到 Δ 和 Δ 到 Y 的变换公式在最后一节中给出。 应用显示了一个典型示例，其中使用 Y 到 Δ 变换来简化检索给定电路的等效电阻的过程。