详谈动态规划问题并解最大子数组和

今天刷力扣又学会了一种算法----动态规划，经过我查阅不少资料后，这些我总结的分享给大家

动态规划是什么？

动态规划（Dynamic Programming）是一种求解最优化问题的数学方法，它通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。动态规划的基本思想是将原问题拆解成若干个子问题，然后通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。

动态规划有两个关键概念：重叠子问题和最优子结构。

1. 重叠子问题： 在动态规划中，原问题可以被拆解成多个具有相同结构的子问题，而这些子问题可能会被多次求解。动态规划通过存储已解决的子问题的解，避免重复计算，提高效率。

2. 最优子结构： 问题的最优解可以通过子问题的最优解来构造。也就是说，问题的整体最优解是由各个子问题的最优解组合而成的。这使得我们可以通过求解子问题来逐步推导出原问题的最优解。

动态规划算法的一般步骤如下：

1. 定义状态： 描述问题局部最优解的变量，这些变量可以表示问题的不同方面。

2. 找到状态转移方程： 定义各个状态之间的关系，即问题的最优解如何由子问题的最优解推导而来。

3. 初始化： 给定问题的初始状态，通常是问题规模较小时的情况，然后逐步扩展规模。

4. 递推计算： 利用状态转移方程，从初始状态开始逐步计算得到问题的最优解。

5. 解决原问题： 根据计算得到的最优解，得到原问题的最优解。

动态规划常被用于解决许多问题，如最短路径问题、背包问题、编辑距离问题等。这种方法在解决那些可以被拆解成子问题，并且这些子问题存在重叠的情况下特别有效。

如果觉得以上说法不是太通俗理解我们可以一边结合题，一边来详解什么是动态规划！

使用动态规划求解最大子数组和

先给出一个算法题（摘自力扣）

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• -104 <= nums[i] <= 104

 理解题意：

题目要我们找出和最大的连续子数组的值是多少，「连续」是关键字，连续很重要，不是子序列。

题目只要求返回结果，不要求得到最大的连续子数组是哪一个。这样的问题通常可以使用「动态规划」解决。

如何定义子问题（定义状态）

我们 不知道和最大的连续子数组一定会选哪一个数，那么我们可以求出 所有 经过输入数组的某一个数的连续子数组的最大和。

经过分析，我们列出子问题如下：

子问题 1：以 −2 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 2：以 1 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 3：以 −3 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 4：以 4 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 5：以 −1 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 6：以 2 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 7：以 1 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 8：以 −5 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 9：以 4 结尾的连续子数组的最大和是多少。

我们单独看子问题 1 和子问题 2：

子问题 1：以 −2 结尾的连续子数组的最大和是多少；
以 −2结尾的连续子数组是 [-2]，因此最大和就是 −2。

子问题 2：以 1 结尾的连续子数组的最大和是多少；
以 1 结尾的连续子数组有 [-2,1] 和 [1] ，其中 [-2,1] 就是在「子问题 1」的后面加上 1 得到。−2+1=−1<1 ，因此「子问题 2」 的答案是 1。

大家发现了吗，如果编号为 i 的子问题的结果是负数或者 0 ，那么编号为 i + 1 的子问题就可以把编号为 i 的子问题的结果舍弃掉（这里 i 为整数，最小值为 1 ，最大值为 8），这是因为：

一个数 a 加上负数的结果比 a 更小；
一个数 a 加上 0的结果不会比 a 更大；
而子问题的定义必须以一个数结尾，因此如果子问题 i 的结果是负数或者 0，那么子问题 i + 1 的答案就是以 nums[i] 结尾的那个数。

定义状态（定义子问题）

dp[i]：表示以 nums[i] 结尾的连续子数组的最大和。

「结尾」和「连续」是关键字。

状态转移方程（描述子问题之间的联系）
根据状态的定义，由于 nums[i] 一定会被选取，并且以 nums[i] 结尾的连续子数组与以 nums[i - 1] 结尾的连续子数组只相差一个元素 nums[i] 。

假设数组 nums 的值全都严格大于 0，那么一定有 dp[i] = dp[i - 1] + nums[i]。

可是 dp[i - 1] 有可能是负数，于是分类讨论：

如果 dp[i - 1] > 0，那么可以把 nums[i] 直接接在 dp[i - 1] 表示的那个数组的后面，得到和更大的连续子数组；
如果 dp[i - 1] <= 0，那么 nums[i] 加上前面的数 dp[i - 1] 以后值不会变大。于是 dp[i] 「另起炉灶」，此时单独的一个 nums[i] 的值，就是 dp[i]。
以上两种情况的最大值就是 dp[i] 的值，写出如下状态转移方程：

输出：

注意：这里状态的定义不是题目中的问题的定义，不能直接将最后一个状态返回回去

我们需要将之前的dp全部遍历一遍，然后取最大值后返回

算法实现代码

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int [] dp=new int[len];
        dp[0]=nums[0];
        for(int i=1;i
            if(dp[i-1]<0){
                dp[i]=nums[i];
            }else{
                dp[i]=dp[i-1]+nums[i];
            }
        }
        int res=dp[0];
        for(int i=1;i
            res=Math.max(res,dp[i]);
        }
        return res;
    }
}

算法思路转载来源：力扣（LeetCode）

作者：liweiwei1419
链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/