【洛谷 P2678】[NOIP2015 提高组] 跳石头 题解（二分答案+递归）

[NOIP2015 提高组] 跳石头

题目背景

一年一度的“跳石头”比赛又要开始了!

题目描述

这项比赛将在一条笔直的河道中进行，河道中分布着一些巨大岩石。组委会已经选择好了两块岩石作为比赛起点和终点。在起点和终点之间，有 $N$ 块岩石（不含起点和终点的岩石）。在比赛过程中，选手们将从起点出发，每一步跳向相邻的岩石，直至到达终点。

为了提高比赛难度，组委会计划移走一些岩石，使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长。由于预算限制，组委会至多从起点和终点之间移走 $M$ 块岩石（不能移走起点和终点的岩石）。

输入格式

第一行包含三个整数 $L,N,M$，分别表示起点到终点的距离，起点和终点之间的岩石数，以及组委会至多移走的岩石数。保证 $L\ge 1$ 且 $N\ge M\ge 0$。

接下来 $N$ 行，每行一个整数，第 $i$ 行的整数 $D_i(0<D_i<L)$， 表示第 $i$ 块岩石与起点的距离。这些岩石按与起点距离从小到大的顺序给出，且不会有两个岩石出现在同一个位置。

输出格式

一个整数，即最短跳跃距离的最大值。

样例 #1

样例输入 #1

25 5 2 
2
11
14
17 
21
1
2
3
4
5
6

样例输出 #1

4
1

提示

输入输出样例 1 说明

将与起点距离为 $2$和 $14$ 的两个岩石移走后,最短的跳跃距离为 $4$(从与起点距离 $17$ 的岩石跳到距离 $21$ 的岩石,或者从距离 $21$ 的岩石跳到终点)。

数据规模与约定

对于 $20\%$的数据，$0\le M\le N\le 10$。
对于 $50\%$ 的数据，$0\le M\le N\le 100$。
对于 $100\%$的数据，$0\le M\le N\le 50000,1\le L\le 10^9$。

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思路

定义一个check函数，用来检查给定的跳跃距离x是否满足条件。在check函数中，代码遍历岩石的位置，计算相邻岩石之间的距离，如果距离小于x，则移除该岩石，否则保留该岩石。最后，如果移除的岩石数量大于m，则返回true，否则返回false。

定义一个递归函数partition，用来进行二分答案的递归操作。在partition函数中，代码首先计算中间值mid，并调用check函数检查mid是否满足条件。如果满足条件，说明距离偏大，递归调用partition函数，将右边界更新为mid-1；否则，说明距离偏小，判断如果mid + 1大于右边界r，则说明找到了最终答案，输出mid并返回；否则，递归调用partition函数，将左边界更新为mid+1。

注意：这里有个坑，输入给的数据不含起点和终点的岩石，需要手动设置第n+1块石头到起点的距离为起点到终点的距离，同时在check函数的循环变量范围是从1到n+1而不是到n。如果没有处理终点岩石，测试点Subtask #1会报WA。

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AC代码

#include 
#include 
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

const int N = 1e6 + 7;

// 距离，岩石数，移除岩石数
int len, n, m;
// 岩石i与起点的距离
int d[N];

bool check(int x) {
	int prev = 0;
	int cnt = 0;
	// for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int i = 1; i <= n + 1; i++) {
		int len = d[i] - prev;
		if (len < x) {
			// 移除
			cnt++;
		} else {
			// 保留
			prev = d[i];
		}
	}
	// cout << x << " " << cnt << endl;
	return cnt > m;
}

void partition(int l, int r) {
	int mid = (l + r) / 2;
	if (check(mid)) {
		// 距离偏大
		partition(l, mid - 1);
	} else {
		if (mid + 1 > r) {
			cout << mid << endl;
			return;
		}
		// 距离偏小
		partition(mid + 1, r);
	}
}

int main() {
	cin >> len >> n >> m;
	d[0] = 1;
	d[n + 1] = len;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> d[i];
	}
	partition(0, len);
	return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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