线性代数理解笔记

一.向量引入:

向量：只由大小和方向决定，不由位置决定。

二.向量加减法

向量的加法是首尾相连，减法是尾尾相连。

而向量v+向量w为平行四边形主对角线。

向量v-向量w为平行四边形副对角线。

2.向量内积点乘（内积）

内积表示的是cos夹角的大小，如果内积大于0，表示两向量的夹角小于90度，等于0两向量夹角为90度，小于0夹角大于90度。

3.叉乘（外积）

叉乘的几何意义是平行四边形的面积。

三.线性相关理解

有一组向量，a,b,c。有任意系数，x,y,z。a*x+b*y+c*z=0;如果a,b,c三个向量线性无关，那么只有当x=y=z=0时结果才为0。也说明三个向量，两两必有夹角。（不共线）

如果线性相关，那么a,b,c,中，至少有一个与另一个共线，夹角为0。也就是说某一个向量可以拉伸成为另一个向量。

n个线性无关的向量可以通过线性组合张成一个n维空间。

在几何上：

线性相关：组向量中有多余向量，把它去掉后不影响张成空间。

线性无关：没多余向量，去掉任何一个都会影响原有的张成空间，每一个向量都代表了一个新的维度。

例如我们二维平面----->直角坐标系。标准正交基时两两垂直、长度为1的向量可以张成。（1，0）代表x轴方向，（0，1）代表y轴方向。分别用坐标表示[(1,0)T,(0,1)T]。假如我们要直角坐标系中向量(2,3)。只需要改变这个正交基向量组的系数就可以了。2*(1,0)+3(0,1)=(2,0)+(0,3)=(2,3)。

表示向量（2，3）在x轴方向走了2步。y轴方向走了3步。

三.矩阵：

每一个向量构成矩阵的列向量。

上边我们用了正交基向量（（1，0），（0，1））获得向量（2，3）,相当于拉伸了正交基向量。

而这个用矩阵来描述就是进行了线性变换。[(1,0)T,(0,1)T][2,3]=[2,3],表示由正交基变量组成的矩阵与系数矩阵[2,3]相乘。它的几何意义是向量(2,3)在由正交基坐标系下的映射。如果不是正交基所组成的矩阵，而是别的，[2,3]在别的基构成的坐标系中又会是别的点。而我们如果要把别的基的点转到直角坐标系下，那么就要乘该矩阵的逆矩阵。一个矩阵乘它的逆矩阵等于单位矩阵。例如我们[(0,1)T,(1,1)T][x,y]=[2,3],在基[0,1][1,1]下,在平面直角坐标系中的向量(x,y)，线性变换在此坐标系下面是[2,3]，如果我们要求(x,y)，就要变到直角坐标系下。只需要左乘[(0,1)T,(1,1)T]-1（逆矩阵）,那么就是E[x,y]=[(0,1)T,(1,1)T]-1[2,3]。E为单位矩阵,也是直角坐标系。

秩：矩阵(向量组)可以张成空间的维度，用r表示。

奇异矩阵：行列式为0的矩阵，也就是维度变小的矩阵。不满秩的矩阵。但我们不知道维度变得是多小，比如由三维到二维是小，从三围到一维也是小。

非奇异矩阵：行列式不为0的矩阵。满秩矩阵，维度不变的矩阵。

逆矩阵:如果矩阵A,B,AB=BA,那么说明A可逆，写作A^-1。

下面是矩阵的一下运算规则

求逆矩阵：

所以我们知道，矩阵可逆的充要条件是矩阵行列式不为0。

四.行列式

几何意义：二维中,是由基围成的平行四边形面积。

在三维中，是由基围成的平行六面体体积。

如果行列式为0，就相当于没有面积，也就是说被压缩到更小维度，如直角坐标系维度到一条坐标轴。

所以，我们用矩阵的秩来描述就是，满秩矩阵<=>行列式不为0，不满秩矩阵,<=>行列式为0。秩是用来表示线性无关的向量数量，不满秩，就相当于没围起来，就没有面积，行列式为0。

下面是行列式的性质和运算规则。

余子式和代数余子式

五.次线性方程组的解

用矩阵的线性变换求解方程组

初等矩阵：对单位矩阵进行一次初等行变换所得到的矩阵。

初等行变换实际上就是初等矩阵与矩阵间的乘法。

下面涉及高等数学微分方程的内容：

特征值求法

一个矩阵乘一个特征向量的矩阵，等于特征值（标量）乘特征向量的矩阵。

为了更好表示，我们移项，让特征值乘单位矩阵。因为等号右边为0，说明空间被压缩。

特征向量的特点是经过变换后会停留在原来的直线上。相当于被拉伸或者缩减多少倍。

被拉伸或缩减多少倍就是特征值。

粗鄙理解：假设v在直角坐标系E下停留在x轴，用矩阵乘法表示为E*v,那么假设A也代表一个不同于直角坐标系的坐标系，那么在A*v的情况下，如果v还停留在x轴，但是只是被拉伸或是压缩，那么我们就说v是特征向量。

特征向量不为0，那么只能它的左边那部分为0。

于是转化成求解左边为0的情况。

下面A为特征向量矩阵。

六.二次型

有交叉项是斜的，没交叉项则是正的圆。标准化就是将斜的摆正的过程。

以上截图来自于B站小宇师兄聊考研。作者去学习并有一些自己的理解。