PTA 编程题（C语言）-- 连续因子

题目标题： 连续因子               题目作者 陈越 浙江大学

一个正整数 N 的因子中可能存在若干连续的数字。例如 630 可以分解为 3×5×6×7，其中 5、6、7 就是 3 个连续的数字。给定任一正整数 N，要求编写程序求出最长连续因子的个数，并输出最小的连续因子序列。

输入格式：

输入在一行中给出一个正整数 N（1

输出格式：

首先在第 1 行输出最长连续因子的个数；然后在第 2 行中按 因子1*因子2*……*因子k 的格式输出最小的连续因子序列，其中因子按递增顺序输出，1 不算在内。

输入样例：

630

输出样例：

3
5*6*7

这道题目初看会觉得很难，仔细观察一下还是有思路的。首先对题目中的有关概念做以下解释。

所为连续因子序列是指，按照从小到大的次序排列的一串连续的正整数a、a+1、a+2 ...  a+n-1，若他们的乘机能够整除N，则称这串数是N的一个连续因子序列，其中正整数的个数n，叫做这个连续因子序列的长度。对于一个正整数N的连续因子序列，我们需要知道一下三点事实：

（1）N一定有连续因子序列。例如N本身就是一个长度为1的连续因子序列。

（2）N一定有一个最长连续因子序列。因为N是有限的，故他的连续因子序列不可能 无限长。

（3）N的最长连续因子序列可能不唯一，若N有若干的长度都是最长的连续因子序列，则这个因子序列中起始因子最小的序列，称为最小的连续因子序列。

本题就是要在N的最长因子序列中寻找最小的。

思路：对于一个给定的i，我们用里层循环找到从i开始的最长因子序列；用外层循环让i从2开始遍历到N，如果新找的到的因子序列比之前找到的长，我们用新找到的去更换当前最长续因子序列；由于我们每次找的最长因子序列的起始因子是从2开始递增的，故找到的最长因子序列一定是最小的。

注意：外循环的循环变量i是遍历起始因子的，所以i从2开始遍历。至于i到哪里结束呢？如果N是素数，则我们需要让i能取到N，但是这样会有一个测试点运行超时。如果N不是素数，我们只需要让i取到sqrt(N)即可，这样也不会超时。所以我们的处理办法是，就让i取到sqrt(N)，如果没有找到最小因子序列，则说明N一定是素数，就按素数的情况输出即可。

另外，我们用来存放因子序列的数组的长度设置为12就可以了，因为13！将超过给定的正整数N的上限，也就是说对于题目给定的N，它的最长因子序列不可能超过12。

代码1：

#include 
#include  
int main () {
    int N, M, i, j, lenS = 0, lenT = 0, S[12] = {0},T[12] = {0};
    scanf("%d", &N);
    for (i = 2; i <= sqrt(N); i++) {
        M = 1;
        for (j = 0; j < 12; j++) {
            M *= (i+j);
            if (N%M == 0) {
                T[j] = i+j;
                lenT = j+1;
            } 
            else break;
        }
        if (lenT > lenS) {  // 如果新找的的连续因子序列T比S长，我们就用T替换S
            for (j = 0; j < lenT; j++) {
                S[j] = T[j];
            }
            lenS = lenT;
        }
    }
    if (lenS == 0) {   // 没有找长度大于1的连续因子序列的情况，说明N是素数。
        printf("1\n%d",N);
    } else {
        printf("%d\n", lenS);
        for (i = 0; i < lenS-1; i++) printf("%d*", S[i]);
        printf("%d",S[i]);  
    }
    return 0;
}

优化：因为要记录一个连续因子，起始只需要记录它的其实因子和长度就可以了，没有必要用数组记录下整个因子序列，基于这个想法我们有如下的优化

代码2：

#include 
#include  
int main () {
    int N, M, i, j, lenS = 0, lenT, S = 0, T = 0;
    scanf("%d", &N);
    for (i = 2; i <= sqrt(N); i++) {
        M = 1;
        T = i;
        for (j = 0; j < 12; j++) {
            M *= (i+j);
            if (N%M == 0) {
                lenT = j+1;
            } 
            else break;
        }
        if (lenT > lenS) {
            S = T;
            lenS = lenT;
        }
    }
    if (lenS == 0) {
        printf("1\n%d",N);
    } else {
        printf("%d\n", lenS);
        for (i = 0; i < lenS-1; i++) printf("%d*", S+i);
        printf("%d",S+i);  
    }
    return 0;
}

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