2.3 矩阵消元

一、消元矩阵

消元矩阵执行消元步骤用到的矩阵。从第 $i$ 个方程减去 $l_{ij}$ 乘第 $j$ 个方程（将 $x_j$ 从第 $i$ 行中消去）。我们需要很多个简单的矩阵 $E_{ij}$，每一个对应一个主对角线下方要消除的非零数字。
后面我们会把所有的 $E_{ij}$ 结合成一个矩阵 $E$，一次性完成消元。最简洁的方法是将所有的逆矩阵 $(E_{ij}{)}^{-1}$ 结合成一个整体的矩阵 $L=E^{-1}$。本节的内容：

1. 了解每一个步骤都是一次矩阵乘法。
2. 将所有步骤的 $E_{ij}$ 结合成一个消元矩阵 $E$。
3. 了解每一个 $E_{ij}$ 如何变成逆矩阵 $(E_{ij}{)}^{-1}$。
4. 组合所有的逆矩阵 $(E_{ij}{)}^{-1}$ （右序）变成 $L$。

$L$ 的特殊性质是其所有的乘数 $l_{ij}$ 都是有序的，这些乘数在 $E$ 中是混乱的（从 $A$ 到 $U$ 的前向消元），在 $L$ 中（撤销消元，从 $U$ 返回到 $A$）会变得有序。反向可以让这些步骤与矩阵 $(E_{ij}{)}^{-1}$ 落在反向序列中，防止混乱。

二、矩阵乘向量 Ax = b

上节的例题 $3\times 3$ 的方程组可以简写乘矩阵的形式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$： 2 x 1 + 4 x 2 − 2 x 3 = 2 4 x 1 + 9 x 2 − 3 x 3 = 8 − 2 x 1 − 3 x 2 + 7 x 3 = 10 等价于 [ 2 4 − 2 4 9 − 3 − 2 − 3 7 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 2 8 10 ] ( 2.3.1 )

\kern 6pt等价于\kern 6pt=\kern 10pt(2.3.1) 2x1​+4x2​−2x3​=24x1​+9x2​−3x3​=8−2x1​−3x2​+7x3​=10​等价于 ​24−2​49−3​−2−37​ ​ ​x1​x2​x3​​ ​= ​2810​ ​(2.3.1)左侧的 $9$ 个数字组成矩阵 $A$，矩阵 $A$ 乘 $\mathbf{x}$ 得到三个方程。
$A$ 乘 $\mathbf{x}$ 复习：矩阵乘向量得到向量。当方程的数目和未知数的数目相等时，矩阵为方阵。方阵通常表示为 $n\times n$。向量 $\mathbf{x}$ 在 $n$ 维空间。 未知数是 x = [ x 1 x 2 x 3 ] 解是 x = [ − 1 2 2 ] 未知数是\kern 5pt\boldsymbol x=

[x1x2x3]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢x1x2x3⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$$

\kern 10pt解是\kern 5pt\boldsymbol x=

[−122]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢−122⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right]$$

未知数是x= ​x1​x2​x3​​ ​解是x= ​−122​ ​重点： $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 表示方程的行形式，也表示列形式： 列形式 A x = ( − 1 ) [ 2 4 − 2 ] + 2 [ 4 9 − 3 ] + 2 [ − 2 − 3 7 ] = [ 2 8 10 ] = b ( 2.3.2 ) 列形式\kern 10ptA\boldsymbol x=(-1)

[24−2]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢24−2⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}2\\ 4\\ -2\end{array}\right]$$

+2

[49−3]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢49−3⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}4\\ 9\\ -3\end{array}\right]$$

+2

[−2−37]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢−2−37⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 7\end{array}\right]$$

=

[2810]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢2810⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}2\\ 8\\ 10\end{array}\right]$$

=\boldsymbol b\kern 10pt(2.3.2) 列形式Ax=(−1) ​24−2​ ​+2 ​49−3​ ​+2 ​−2−37​ ​= ​2810​ ​=b(2.3.2)$A\mathbf{x}$ 是 $A$ 列的线性组合，要计算 $A\mathbf{x}$ 的分量时，可以使用矩阵乘法的行形式，$A\mathbf{x}$ 的分量就是 $\mathbf{x}$ 与 $A$ 每行的点积。可以使用累加表示：$$\begin{gathered} A\mathbf{x}的第一分量：(-1)(2)+(2)(4)+(2)(-2) \\ A\mathbf{x}第i分量：(\text{row}i)\cdot \mathbf{x}=a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n \end{gathered}$$符号记为：${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j$
$\sum$ 表示累加，从 $j=1$ 开始到 $j=n$ 结束，从 $a_{i1}{x}_1$ 开始一直累加到 $a_{in}{x}_n$，得到点积 $(\text{row}i)\cdot \mathbf{x}$ 。
矩阵表示法：第 1 行第 1 列的元素（左上角）是 $a_{11}$，第 1 行第 3 列的元素是 $a_{13}$，第 3 行第 1 列的元素是 $a_{31}$（行数在前，列数在后）。一般规则：$a_{ij}=A(i,j)$，位置在第 $i$ 行 $j$ 列。

【例1】矩阵有 $a_{ij}=2i+j$，则 $a_{11}=3,a_{12}=4,a_{21}=5$。下面是由行得到 $A\mathbf{x}$，分别用数字和字母表示： [ 3 4 5 6 ] [ 2 1 ] = [ 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 1 5 ⋅ 2 + 6 ⋅ 1 ] [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] [ x 1 x 2 ] = [ a 11 x 1 + a 12 x 2 a 21 x 1 + a 22 x 2 ]

=\kern 15pt= [35​46​][21​]=[3⋅2+4⋅15⋅2+6⋅1​][a11​a21​​a12​a22​​][x1​x2​​]=[a11​x1​+a12​x2​a21​x1​+a22​x2​​]

三、一个消元步骤的矩阵形式

方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，从第二个式子中减去 $2$ 乘第一个式子，在右侧，$\mathbf{b}$ 的第二个分量减去 $2$ 乘第一个分量： 第一步 b = [ 2 8 10 ] 变为 b new = [ 2 4 10 ] 第一步\kern 10pt\boldsymbol b=

\kern 10pt变为\kern 10pt\boldsymbol b_{\textrm {new}}= 第一步b= ​2810​ ​变为bnew​= ​2410​ ​若使用矩阵形式实现上述步骤，则需要一个消元矩阵 $E$ 乘 $\mathbf{b}$ 得到 ${\mathbf{b}}_{\text{new}}=E\mathbf{b}$，从 $b_2$ 减去 $2b_1$： 消元矩阵 E = [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] 消元矩阵\kern 10ptE=

[100−210001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢1−20010001⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

消元矩阵E= ​1−20​010​001​ ​用 $E$ 乘的结果是使得第 $2$ 行减去 $2$ 乘第 $1$ 行，而第 $1、3$ 行保持不变： [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] [ 2 8 10 ] = [ 2 4 10 ] [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] [ b 1 b 2 b 3 ] = [ b 1 b 2 − 2 b 1 b 3 ]

[100−210001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢1−20010001⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

[2810]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢2810⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}2\\ 8\\ 10\end{array}\right]$$

=

[2410]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢2410⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}2\\ 4\\ 10\end{array}\right]$$

\kern 10pt

[100−210001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢1−20010001⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

[b1b2b3]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢b1b2b3⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]$$

=

[b1b2−2b1b3]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢b1b2−2b1b3⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2-2b_1\\ b_3\end{array}\right]$$

​1−20​010​001​ ​ ​2810​ ​= ​2410​ ​ ​1−20​010​001​ ​ ​b1​b2​b3​​ ​= ​b1​b2​−2b1​b3​​ ​$E$ 的第 $1、3$ 行是来自于单位矩阵 $I$，它们不会改变第一和第三分量，新的第二个分量 $4$ 是消元之后出现的，即 $b_2-2b_1$。
消元矩阵 $E$ 是将单位矩阵 $I$ 其中的一个 $0$ 变为乘数 $-l$。

单位矩阵对角线上的元素都是 $1$，其余的元素全为 $0$。对于任意的 $\mathbf{b}$ 都有 $I\mathbf{b}=\mathbf{b}$。消元矩阵 $E_{ij}$ 在 $i,j$ 位置处多了一个非零元素 $-l$，被 $E_{ij}$ 乘会使得第 $i$ 行减去 $l$ 乘第 $j$ 行。

【例2】矩阵 $E_{31}$ 的位置 $3,1$ 是 $-l$： 单位矩阵 I = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] 消元矩阵 E 31 = [ 1 0 0 0 1 0 − l 0 1 ] 单位矩阵\kern 10ptI=

\kern 10pt消元矩阵\kern 5ptE_{31}= 单位矩阵I= ​100​010​001​ ​消元矩阵E31​= ​10−l​010​001​ ​ $I$ 乘 $\mathbf{b}$ 仍然得到 $\mathbf{b}$，但是 $E_{31}$ 乘 $\mathbf{b}$ 会从 $\mathbf{b}$ 的第三分量减去 $l$ 乘第一分量。当 $l=4$ 时，第三分量为 $9-4=5$： I b = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ 1 3 9 ] = [ 1 3 9 ] E 31 b = [ 1 0 0 0 1 0 − 4 0 1 ] [ 1 3 9 ] = [ 1 3 5 ] I\boldsymbol b=

[100010001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

[139]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢139⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 9\end{array}\right]$$

=

[139]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢139⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 9\end{array}\right]$$

\kern 10ptE_{31}\boldsymbol b=

[100010−401]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢10−4010001⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -4& 0& 1\end{array}\right]$$

[139]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢139⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 9\end{array}\right]$$

=

[135]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢135⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 5\end{array}\right]$$

Ib= ​100​010​001​ ​ ​139​ ​= ​139​ ​E31​b= ​10−4​010​001​ ​ ​139​ ​= ​135​ ​$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 进行消元时，两侧都会被 $E_{31}$ 乘，$E_{31}$ 的目的是在矩阵 $(3,1)$ 位置处产生 $0$。
进行消元时，从矩阵 $A$ 开始，需要使用多个 $E$ 使得主元下方位置都产生 $0$，第一个 $E$ 是 $E_{21}$，最终得到三角形 $U$。
消元过程中，向量 $\mathbf{x}$ 不会变化，解 $\mathbf{x}$ 也不会因消元而改变。只有系数矩阵会改变。若 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，则 $EA\mathbf{x}=E\mathbf{b}$，新矩阵 $EA$ 是 $E$ 乘 $A$ 的结果。

四、矩阵乘法

两个矩阵如何相乘？若第一个矩阵是 $E$，目标是 $EA$，$E$ 会使得 $A$ 的行 $2$ 减去 $2$ 乘行 $1$，乘数是 $2$： E A = [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] [ 2 4 − 2 4 9 − 3 − 2 − 3 7 ] = [ 2 4 − 2 0 1 1 − 2 − 3 7 ] ( 得到一个零 ) ( 2.3.3 ) EA=

=\kern 5pt(得到一个零)\kern 10pt(2.3.3) EA= ​1−20​010​001​ ​ ​24−2​49−3​−2−37​ ​= ​20−2​41−3​−217​ ​(得到一个零)(2.3.3)这个步骤没有改变 $A$ 的行 $1$ 和行 $3$，它们在 $EA$ 中保持不变，只改变了行 $2$，行 $2$ 减去了行 $1$ 的 $2$ 倍。矩阵乘法与消元法达成了相同的目的，新的系统为 $EA\mathbf{x}=E\mathbf{b}$。
$EA\mathbf{x}$ 虽然简单，确含有一个巧妙的思想。从 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 开始，两边同时用 $E$ 乘得到 $E(A\mathbf{x})=E\mathbf{b}$。使用矩阵乘法，也是 $(EA)\mathbf{x}=E\mathbf{b}$。

第一个是 $E$ 乘 $A\mathbf{x}$，第二个是 $EA$ 乘 $\mathbf{x}$，它们是相同的。

括号不需要了，可直接写成 $EA\mathbf{x}$。
这个规律可以扩展至有多个列向量的矩阵 $C$，计算 $EAC$ 可以先算 $AC$，也可以先算 $EA$，这个规律就是结合律。
注意通常情况下 $EA$ 不等于 $AE$。当 $E$ 乘在右侧时，它作用于 $A$ 的列而不是行。$AE$ 会使得 $A$ 的列 $1$ 减去 $2$ 乘列 $2$$$\begin{gathered} 结合律正确A(BC)=(AB)C \\ 交换律错误通常AB\ne BA \end{gathered}$$矩阵乘法还有另外一个要求，假设 $B$ 只有一列（列 $\mathbf{b}$），矩阵 - 矩阵相乘 $EB$ 应和矩阵 - 向量相乘的法则一致。甚至矩阵乘法 $EB$ 可以一次乘一列：
如果 $B$ 有多个列 $b_1,b_2,b_3$，则 $EB$ 的列为 $E{b}_1,E{b}_2,E{b}_3$。$$矩阵乘法EB=E[b_1,b_2,b_3]=[E{b}_1,E{b}_2,E{b}_3](\mathrm{2.3.4})$$对于式（2.3.3），也可以使用这项性质。$E$ 乘 $A$ 的列 $3$，也可以得到正确的 $EA$ 的列 $3$： [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] [ − 2 − 3 7 ] = [ − 2 1 7 ] E ( A 的列 j ) = E A   的列   j

=\kern 10ptE(A的列\kern 1ptj)=EA\,的列\,j ​1−20​010​001​ ​ ​−2−37​ ​= ​−217​ ​E(A的列j)=EA的列j矩阵乘法有三种处理方式（行、列、整个矩阵）都可以得到正确的结果。

五、行交换矩阵 $P_{ij}$

从行 $i$ 减去行 $j$ 使用 $E_{ij}$，交换或置换这些行使用另外一种矩阵 $P_{ij}$（置换矩阵）。如果主元位置出现零时，那么就需要行交换，往下方看，主元这一列可能存在非零数字，交换这两行就有主元了，消元也可以继续进行。
置换矩阵 $P_{23}$ 可以交换行 $2$ 与行 $3$，将单位矩阵的行 $2$ 与行 $3$ 交换，就可得到 $P_{23}：$ 置换矩阵 P 23 = [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] 置换矩阵\kern 10ptP_{23}=

置换矩阵P23​= ​100​001​010​ ​这个就是行交换矩阵。$P_{23}$ 乘任意的列向量，都会使其第二分量和第三分量交换，因此也可以交换矩阵的行 $2$ 与行 $3$： [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] [ 1 3 5 ] = [ 1 5 3 ] , [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] [ 2 4 1 0 0 3 0 6 5 ] = [ 2 4 1 0 6 5 0 0 3 ]

[100001010]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢100001010⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$

[135]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢135⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 5\end{array}\right]$$

=

[153]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢153⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}1\\ 5\\ 3\end{array}\right]$$

,\kern 13pt

[100001010]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢100001010⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$

[241003065]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢200406135⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 1\\ 0& 0& 3\\ 0& 6& 5\end{array}\right]$$

=

[241065003]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢200460153⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 1\\ 0& 6& 5\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$$

​100​001​010​ ​ ​135​ ​= ​153​ ​, ​100​001​010​ ​ ​200​406​135​ ​= ​200​460​153​ ​$P_{23}$ 交换了行 $2$ 与行 $3$，使得主元的位置从 $0$ 变成了 $6$。
置换矩阵可以交换行的顺序。例如行 $1,2,3$ 可以变为行 $3,1,2$。

行交换矩阵： 单位矩阵的行 $i$ 与 $j$ 交换顺序可以得到 $P_{ij}$。当置换矩阵 $P_{ij}$ 乘一个矩阵时，则该矩阵交换行 $i$ 与行 $j$。

交换方程   1   与方程   3 ，左边乘上 P 13 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] 交换方程\,1\,与方程\,3，左边乘上 P_{13}=

交换方程1与方程3，左边乘上P13​= ​100​010​001​ ​一般来说要将主元移至对角线时，需要用到置换矩阵。

六、增广矩阵

下面是一个矩形矩阵也是来源于原始方程，但是包括了右侧的 $\mathbf{b}$。
关键点：消元法对于 $A$ 与 $\mathbf{b}$ 有相同的行操作，我们可以将 $\mathbf{b}$ 当做一个额外的列，一起进行消元。额外列 $\mathbf{b}$ 加入后，矩阵 $A$ 就变大了，称为增广（augmented）矩阵： 增广矩阵 [ A b ] = [ 2 4 − 2 2 4 9 − 3 8 − 2 − 3 7 10 ] \pmb{增广矩阵}\kern 5pt[A\kern 6pt\boldsymbol b]=

增广矩阵[Ab]= ​24−2​49−3​−2−37​2810​ ​消元法作用于矩阵的整个行，$E$ 同时乘上左侧和右侧，得到方程 $2$ 减去 $2$ 乘方程 $1$，这个步骤同时发生在 $[E\mathbf{b}]$： [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] [ 2 4 − 2 2 4 9 − 3 8 − 2 − 3 7 10 ] = [ 2 4 − 2 2 0 1 1 4 − 2 − 3 7 10 ]

[100−210001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢1−20010001⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

[24−2249−38−2−3710]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢24−249−3−2−372810⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{cccc}2& 4& -2& 2\\ 4& 9& -3& 8\\ -2& -3& 7& 10\end{array}\right]$$

=

[24−220114−2−3710]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢20−241−3−2172410⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{cccc}2& 4& -2& 2\\ 0& 1& 1& 4\\ -2& -3& 7& 10\end{array}\right]$$

​1−20​010​001​ ​ ​24−2​49−3​−2−37​2810​ ​= ​20−2​41−3​−217​2410​ ​新的第二行包含 $0,1,1,4$，新的方程 $2$ 为 $x_2+x_3=4$。矩阵乘法同时作用于行和列：$$\begin{gathered} 行：E的每一行作用在[A\mathbf{b}]得到[EAE\mathbf{b}]的一行 \\ 列：E作用于[A\mathbf{b}]的每一列得到[EAE\mathbf{b}]的一列 \end{gathered}$$注意作用（act）的意义。矩阵 $A$ 作用于 $\mathbf{x}$ 得到 $\mathbf{b}$。矩阵 $E$ 作用于 $A$ 得到 $EA$。消元法的过程就是一系列的行运算，也是矩阵乘法。从 $A$ 到 $E_{21}A$，再到 $E_{31}{E}_{21}A$，最后是 $E_{32}{E}_{31}{E}_{21}A$，它是个三角矩阵。
方程右侧的引入形成了增广矩阵，最后结果是一个方程的三角形系统。

七、主要内容总结

1. $A\mathbf{x}=(x_1乘列1)+\cdots +(x_n乘列n)$，$(A\mathbf{x}{)}_i={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j$。
2. $单位矩阵=I$，$消元矩阵=E_{ij},使用乘数l_{21}$，$置换矩阵=P_{ij}$。
3. $E_{21}$ 乘 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，得到方程 $2$ 减去 $l_{21}$ 乘方程 $1$。$-l_{21}$ 是消元矩阵 $E_{21}$ 在位置 $(2,1)$ 处的元素。
4. 增广矩阵 [ A b ]
   [Ab]" role="presentation" style="position: relative;">[Ab]$$\left[\begin{array}{cc}A& \mathit{b}\end{array}\right]$$
   [A​b​]，消元步骤得到 [ E 21 A E 21 b ]
   [E21AE21b]" role="presentation" style="position: relative;">[E21AE21b]$$\left[\begin{array}{cc}{E}_{21}A& E_{21}\mathit{b}\end{array}\right]$$
   [E21​A​E21​b​]。
5. $A$ 乘任意矩阵 $B$，等于 $A$ 分别乘 $B$ 的每一列。

八、例题

【例3】什么样的 $3\times 3$ 矩阵 $E_{21}$ 使得矩阵 $A$ 的行 $2$ 减去 $4$ 乘行 $1$？什么样的矩阵 $P_{32}$ 交换矩阵 $A$ 的行 $2$ 与行 $3$？如果对矩阵 $A$ 右乘而不是左乘，描述 $A{E}_{21}$ 与 $A{P}_{32}$ 的结果？
解： 对单位矩阵 $I$ 执行一些运算，可得 E 21 = [ 1 0 0 − 4 1 0 0 0 1 ] , P 32 = [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] E_{21}=

,\kern 15ptP_{32}= E21​= ​1−40​010​001​ ​,P32​= ​100​001​010​ ​$E_{21}$ 乘在矩阵 $A$ 的右侧使得 $A$ 的列 $1$ 减去 $4$ 乘列 $2$，$P_{32}$ 乘在右侧会交换列 $2$ 与 列 $3$。

【例4】写出下面方程组的增广矩阵 [ A b ]

[A​b​]：$$\begin{gathered} x+2y+2z=1 \\ 4x+8y+9z=3 \\ 3y+2z=1 \end{gathered}$$使用 $E_{21}$ 和 $P_{32}$ 得到三角形系统。用回代求解方程组。组合矩阵 $P_{32}{E}_{21}$ 一次做了那些工作？
解： $E_{21}$ 使列 $1$ 的 $4$ 变为 $0$，但是 $0$ 也出现在了列 $2$： [ A b ] = [ 1 2 2 1 4 8 9 3 0 3 2 1 ] , E 21 [ A b ] = [ 1 2 2 1 0 0 1 − 1 0 3 2 1 ]

[Ab]" role="presentation" style="position: relative;">[Ab]$$\left[\begin{array}{cc}A& \mathit{b}\end{array}\right]$$

=

[1221448930321]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢1440283292131⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 1\\ 44& 8& 9& 3\\ 0& 3& 2& 1\end{array}\right]$$

,\kern 10ptE_{21}

[Ab]" role="presentation" style="position: relative;">[Ab]$$\left[\begin{array}{cc}A& \mathit{b}\end{array}\right]$$

=

[122100001−10321]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢100020032121−11⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 1\\ 00& 00& 1& -1\\ 0& 3& 2& 1\end{array}\right]$$

[A​b​]= ​140​283​292​131​ ​,E21​[A​b​]= ​100​203​212​1−11​ ​$P_{32}$ 交换行 $2$ 与行 $3$，回代可以求出解 $z,y,x$： P 32 E 21 [ A b ] = [ 1 2 2 1 0 3 2 1 0 0 1 − 1 ] , [ x y z ] = [ 1 1 − 1 ] P_{32}E_{21}

[Ab]" role="presentation" style="position: relative;">[Ab]$$\left[\begin{array}{cc}A& \mathit{b}\end{array}\right]$$

=

[12210321001−1]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢10023022111−1⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 1\\ 0& 3& 2& 1\\ 0& 0& 1& -1\end{array}\right]$$

,\kern 10pt

[xyz]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$

=

[11−1]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢11−1⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right]$$

P32​E21​[A​b​]= ​100​230​221​11−1​ ​, ​xyz​ ​= ​11−1​ ​组合矩阵 $P_{32}{E}_{21}$ 可以同时完成两个步骤，$P_{32}$ 作用于 $E_{21}$： 一个矩阵 两个步骤 P 32 E 21 = E 21 交换行   2 与行   3 = [ 1 0 0 0 0 1 − 4 1 0 ]

一个矩阵一个矩阵两个步骤两个步骤" role="presentation" style="position: relative;">一个矩阵一个矩阵两个步骤两个步骤$$\begin{array}{c}一个矩阵一个矩阵\\ 两个步骤两个步骤\end{array}$$

\kern 10ptP_{32}E_{21}=E_{21}交换行\,2与行\,3=

[100001−410]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢10−4001010⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ -4& 1& 0\end{array}\right]$$

一个矩阵两个步骤​P32​E21​=E21​交换行2与行3= ​10−4​001​010​ ​【例5】矩阵乘法有两种方式。第一，$A$ 的行乘 $B$ 的列；第二，$A$ 的列乘 $B$ 的行，这个不寻常的方法会产生两个矩阵，相加后得到 $AB$。两种方法各需要多少次乘法？ 两种方法 A B = [ 3 4 1 5 2 0 ] [ 2 4 1 1 ] = [ 10 16 7 9 4 8 ] \pmb{两种方法}\kern 10ptAB=

[341520]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢312450⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 5\\ 2& 0\end{array}\right]$$

[2411]" role="presentation" style="position: relative;">[2141]$$\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 1\end{array}\right]$$

=

[10167948]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢10741698⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{cc}10& 16\\ 7& 9\\ 4& 8\end{array}\right]$$

两种方法AB= ​312​450​ ​[21​41​]= ​1074​1698​ ​解： $A$ 的行乘 $B$ 的列是向量的点积： ( row   1 ) ⋅ ( column   1 ) = [ 3 4 ] [ 2 1 ] = 10 是   A B   在 ( 1 , 1 ) 处的元素 ( row   2 ) ⋅ ( column   1 ) = [ 1 5 ] [ 2 1 ] = 7 是   A B   在 ( 2 , 1 ) 处的元素 (\textrm{row}\,1)\cdot(\textrm{column}\,1)=

[34]" role="presentation" style="position: relative;">[34]$$\left[\begin{array}{cc}3& 4\end{array}\right]$$

[21]" role="presentation" style="position: relative;">[21]$$\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$$

=10\kern 7pt是\,AB\,在(1,1)处的元素\\(\textrm{row\,2})\cdot(\textrm{column}\,1)=\begin{bmatrix}1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}=7\kern 13pt是\,AB\,在(2,1)处的元素 (row1)⋅(column1)=[3​4​][21​]=10是AB在(1,1)处的元素(row2)⋅(column1)=[1​5​][21​]=7是AB在(2,1)处的元素总共要做 $6$ 个点积，每个有 $2$ 次乘法，总共需要 $(3\cdot 2\cdot 2)=12$ 次乘法。$AB$ 也可以是 $A$ 的列乘 $B$ 的行，一列乘一行是一个矩阵，也是 $12$ 次乘法： A B = [ 3 1 2 ] [ 2 4 ] + [ 4 5 0 ] [ 1 1 ] = [ 6 12 2 4 4 8 ] + [ 4 4 5 5 0 0 ] AB=

[312]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢312⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right]$$

[24]" role="presentation" style="position: relative;">[24]$$\left[\begin{array}{cc}2& 4\end{array}\right]$$

+

[450]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢450⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 0\end{array}\right]$$

[11]" role="presentation" style="position: relative;">[11]$$\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]$$

=

[6122448]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢6241248⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{cc}6& 12\\ 2& 4\\ 4& 8\end{array}\right]$$

+

[445500]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢450450⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{cc}4& 4\\ 5& 5\\ 0& 0\end{array}\right]$$

AB= ​312​ ​[2​4​]+ ​450​ ​[1​1​]= ​624​1248​ ​+ ​450​450​ ​